이산형 밀도 함수(Discrete Density Function, DDF)

 

 
함수 \( f(x) \)가 이산형 밀도 함수로 정의되려면 다음 세 가지 조건을 만족해야 한다.

1. \( f(x) > 0 \) for \( x = x_j \), \( j = 1, 2, \dots \):
   - 함수 \( f(x) \)는 특정 값 \( x_j \)에서만 0보다 큰 값, 특정 이산값 \( x_j \)에서만 확률을 가진다.
   - 이산형 확률 분포에서 특정 값 \( x_j \)에 확률을 할당하는 것을 의미한다.

2. \( f(x) = 0 \) for \( x \neq x_j \), \( j = 1, 2, \dots \):
   - \( f(x) \)는 \( x_j \)가 아닌 다른 값에서는 0이 된다. 이는 이산형 확률 분포의 특성상, 확률이 특정 값에서만 존재하고 다른 값에서는 존재하지 않음을 나타낸다.

3. \( \sum_{j} f(x_j) = 1 \):
   - 이산형 확률 변수에서 전체 확률의 합은 1이어야 한다. 따라서 함수 \( f(x) \)가 정의된 모든 값 \( x_j \)에서의 확률을 더하면 그 값은 1이 되어야 한다. 

 

 

 

 예시:
예를 들어, 동전 던지기의 경우를 생각해보면, 이산형 확률 변수 \( X \)는 두 가지 값만 가질 수 있다(앞면 또는 뒷면). 이때, 동전 던지기의 결과에 해당하는 밀도 함수는 다음과 같이 표현할 수 있다:
- \( f(\text{앞면}) = 0.5 \)
- \( f(\text{뒷면}) = 0.5 \)
- \( f(x) = 0 \) for any \( x \neq \text{앞면, 뒷면} \)

이 경우, \( f(\text{앞면}) + f(\text{뒷면}) = 1 \)이므로 이 함수는 이산형 밀도 함수의 성질을 만족한다.