Derivatives 1. \( \frac{d}{dx} \left( \frac{x^{n+1}}{n+1} \right) = x^n \) 2. \( \frac{d}{dx} (x) = 1 \) 3. \( \frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x \) 4. \( \frac{d}{dx} (-\cos x) = \sin x \) 5. \( \frac{d}{dx} (\tan x) = \sec^2 x \) 6. \( \frac{d}{dx} (-\cot x) = \csc^2 x \) 7. \( \frac{d}{dx} (\sec x) = \sec x \tan x \) 8. \( \frac{d}{dx} (-\csc x) = \csc x \cot x \) 9. \( \frac{d}{dx} (\sin^{-1} x)..

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# 함수 정의def exp_func(x): return np.exp(x)def line_func(x): return x + 1# x값의 범위 정의x = np.linspace(-2, 2, 400)y_exp = exp_func(x)y_line = line_func(x)# 그래프 생성plt.figure(figsize=(6,6))# 지수 함수 (e^x) 빨간색으로 플로팅plt.plot(x, y_exp, 'r', label=r'$e^x$')# 직선 (x + 1) 파란색으로 플로팅plt.plot(x, y_line, 'b', label=r'$x + 1$')# x = 0에서의 교차점 강조 (하얀색 점)plt.scatter..

함수 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 10x \)의 정지점의 \( x \)-좌표를 찾으려면 함수의 도함수가 0이 되는 지점을 찾아야 한다.  단계: 1. 함수의 도함수를 구한다:    \[    f'(x) = 3x^2 - 12x + 10    \] 2. 도함수가 0이 되는 지점을 찾아 정지점을 구한다:    \[    3x^2 - 12x + 10 = 0    \] 3. 이 이차방정식을 이차 방정식의 공식을 사용하여 풉니다:    \[    x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(3)(10)}}{2(3)}    \]    간단히 하면:    \[    x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 120}}{6}    \]    \[    x = \frac{12..

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{1 + \frac{3k}{n}} \ \]  리만 합의 정의에 따라, 이는 다음 적분으로 변환된다: \[ \int_0^1 \sqrt{1 + 3x} \, dx \]    더보기    리만 합의 정의 리만 합은 적분을 구할 때, 구간을 \(n\) 개로 쪼개어 각 작은 구간에서의 함수값과 구간의 길이를 곱하여 근사적으로 더한 것이다. 함수 \( f(x) \)가 구간 \([a, b]\)에서 적분 가능한 경우, 적분을 다음과 같이 표현할 수 있다: \[ \int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k^) \Delta x \] 여기서: - \( x_k^ ..

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport matplotlib# 백엔드 설정matplotlib.use('Agg')# x 범위 설정x = np.linspace(1, 100, 400)# 두 함수 정의y_convergent = 1 / x**2y_divergent = 1 / x# 그래프 그리기plt.plot(x, y_convergent, label=r'$y = \frac{1}{x^2}$ (Convergent)', color='blue')plt.plot(x, y_divergent, label=r'$y = \frac{1}{x}$ (Divergent)', color='red')# 제목 및 레이블 추가plt.title('Convergence vs. Diverge..

1. 함수와 도함수     함수 \( f(x) = x^2 \)에 대해, 함수의 도함수를 구하기 위해 미분의 정의를 사용한다:    \[    f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}    \] 2. 함수 적용:    \( f(x) = x^2 \)일 때, \( f(x+h) \)를 계산한다:    \[    f(x+h) = (x+h)^2    \] 3. \( (x+h)^2 \) 확장하기:    FOIL 방법을 사용하여 \( (x+h)^2 \)를 확장한다:    \[    (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2    \] 4. \( f(x) \)를 \( f(x+h) \)에서 빼기:    \[    f(x+h) - f(x) = (x^2 + 2xh + h^2) -..