함수의 교차점

 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 함수 정의
def exp_func(x):
    return np.exp(x)

def line_func(x):
    return x + 1

# x값의 범위 정의
x = np.linspace(-2, 2, 400)
y_exp = exp_func(x)
y_line = line_func(x)

# 그래프 생성
plt.figure(figsize=(6,6))

# 지수 함수 (e^x) 빨간색으로 플로팅
plt.plot(x, y_exp, 'r', label=r'$e^x$')

# 직선 (x + 1) 파란색으로 플로팅
plt.plot(x, y_line, 'b', label=r'$x + 1$')

# x = 0에서의 교차점 강조 (하얀색 점)
plt.scatter(0, exp_func(0), color='white', zorder=5)  # 지수 함수에서 x = 0
plt.scatter(0, line_func(0), color='white', zorder=5)  # 직선에서 x = 0

# 확대 상자 추가 (노란색 사각형) - 점을 중심으로 사각형 위치 조정
plt.gca().add_patch(plt.Rectangle((-0.1, 0.9), 0.2, 0.2, fill=False, color="yellow", lw=2))

# 그래프 커스터마이징
plt.axhline(0, color='white', lw=0.5)  # x축 추가
plt.axvline(0, color='white', lw=0.5)  # y축 추가
plt.gca().set_facecolor('black')       # 배경을 검은색으로 설정
plt.gca().spines['left'].set_color('white')
plt.gca().spines['bottom'].set_color('white')
plt.gca().tick_params(colors='red')
plt.title(r'$\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{x + 1} = 1$', color='red', fontsize=16)

# 함수의 곡선 근처에 텍스트 라벨 추가
plt.text(1.5, exp_func(1.5), r'$e^x$', color='red', fontsize=12, ha='center')
plt.text(1.5, line_func(1.5), r'$x + 1$', color='blue', fontsize=12, ha='center')

# 그래프 표시
plt.show()

 구하고자 하는 극한은 다음과 같다:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{x + 1}
\]

 극한 계산 과정:

1. 분모와 분자: 함수는 \( \frac{e^x}{x + 1} \) 형태로 되어 있다. 여기서 \( x \to 0 \)일 때, 분모와 분자는 각각 \( e^0 = 1 \)과 \( 0 + 1 = 1 \)이므로 이 극한은 쉽게 계산된다.

2. 극한 값 계산:
   - \( \lim_{x \to 0} e^x = e^0 = 1 \)
   - \( \lim_{x \to 0} (x + 1) = 1 \)
   
3. 전체 극한:
   \[
   \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{x + 1} = \frac{1}{1} = 1
   \]

 

 

 

plt.gca().add_patch(plt.Rectangle((-0.1, 0.9), 0.2, 0.2, fill=False, color="yellow", lw=2))

 

plt.gca().add_patch()는 현재 그래프에 사각형 같은 도형을 추가하는 명령어이다.

• plt.Rectangle((-0.1, 0.9), 0.2, 0.2)는 왼쪽 하단 모서리가 (−0.1,0.9)(-0.1, 0.9)(−0.1,0.9)이고, 너비와 높이가 각각 0.2인 사각형을 만든다.
• fill=False는 사각형 내부를 비워두겠다는 의미이다.
• color="yellow"는 사각형의 테두리 색을 노란색으로 설정한다.
• lw=2는 사각형 테두리의 두께를 설정한다.

 

 

plt.text(1.5, exp_func(1.5), r'$e^x$', color='red', fontsize=12, ha='center')
plt.text(1.5, line_func(1.5), r'$x + 1$', color='blue', fontsize=12, ha='center')

 

 

plt.text()는 그래프에 텍스트를 추가하는 함수이다.

• r'$e^x$'는 exe^xex 함수를 의미하는 수식을 x=1.5x = 1.5x=1.5 지점에 추가하며, 색은 빨간색으로 설정했다.
• r'$x + 1$'은 직선 x+1x + 1x+1을 의미하며, 같은 위치에 파란색으로 추가한다.
• ha='center'는 텍스트를 해당 위치의 중앙에 맞추겠다는 의미이다.