내적의 구성 성분은 두 벡터 또는 두 행렬의 특정 행과 열 간의 곱셈을 통해 생성되는 값들을 나타내며 두 벡터 간의 관계를 정량화하는 방식이다.내적은 주로 두 벡터 간의 계산을 통해 이루어지며, 각 벡터는 특정한 크기와 방향을 가지고 있다.    - 예를 들어, 벡터 \( \mathbf{u} \)와 \( \mathbf{v} \)가 있을 때, 내적은      \[      \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i      \]    - 여기서 \( n \)은 벡터의 차원이며, \( u_i \)와 \( v_i \)는 각각의 성분이다. 행렬의 내적   - 행렬 곱셈에서 내적은 두 행렬 간의 특정 행과 열 간의 상호작용으로 이해될 수 있다.    - 예를 들..

벡터 \( u = (2, 1) \)과 \( v = (1, 2) \) 에서벡터 \( v \)를 \( u \)에 사영한 값(projection of \( v \) onto \( u \))을 구하면   \[    \text{proj}_u(v) = \left( \frac{8}{5}, \frac{4}{5} \right)    \] 벡터 \( v \)와 사영된 벡터의 직교 성분을 구한 결과는:    \[    \text{perp}_u(v) = v - \text{proj}_u(v) = \left( \frac{-3}{5}, \frac{6}{5} \right)    \]   사영 공식 벡터 \( v \)를 벡터 \( u \)에 사영하는 공식은 다음과 같다: \[ \text{proj}_u(v) = \frac{v \cdot..

직교기저(Orthogonal Basis)는 벡터 공간의 기저 중에서 서로 직교(orthogonal)하는 벡터들로 구성된 기저를 의미한다. 기저란 벡터 공간에서 모든 벡터를 그 기저 벡터들의 선형 결합으로 나타낼 수 있는 벡터들의 집합이다.  - 기저(Basis): 벡터 공간에서 기저란, 그 공간의 모든 벡터를 선형 결합을 통해 표현할 수 있는 최소한의 독립적인 벡터들의 집합이다. - 직교(Orthogonal): 두 벡터가 서로 수직이면 직교한다고 한다. 즉, 두 벡터 \( \mathbf{u} \)와 \( \mathbf{v} \)에 대해 내적(inner product) \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0 \)이면, 이 두 벡터는 직교한다.      직교기저의 특징1. 서로 직교:..

함수 \( f(x) \)가 이산형 밀도 함수로 정의되려면 다음 세 가지 조건을 만족해야 한다. 1. \( f(x) > 0 \) for \( x = x_j \), \( j = 1, 2, \dots \):    - 함수 \( f(x) \)는 특정 값 \( x_j \)에서만 0보다 큰 값, 특정 이산값 \( x_j \)에서만 확률을 가진다.    - 이산형 확률 분포에서 특정 값 \( x_j \)에 확률을 할당하는 것을 의미한다. 2. \( f(x) = 0 \) for \( x \neq x_j \), \( j = 1, 2, \dots \):    - \( f(x) \)는 \( x_j \)가 아닌 다른 값에서는 0이 된다. 이는 이산형 확률 분포의 특성상, 확률이 특정 값에서만 존재하고 다른 값에서는 존재하지 ..

누적 분포 함수(Cumulative Distribution Function, CDF) \( F_X(x) \)는 확률 변수가 \( X \)일 때, 그 값이 \( x \) 이하가 될 확률을 나타내는 함수이다. \( F_X(x) = P(X \leq x) \)로 정의된다. 성질 1:  \[ \lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0 \]  증명: \[ \lim_{x \to -\infty} F_X(x) = \lim_{x \to -\infty} P(X \leq x) \] 확률 변수 \( X \)는 정의상 그 값이 실수인 변수이다. 따라서 \( x \to -\infty \) 일 때 \( X \leq x \)가 참일 확률은 0에 수렴한다. 이는 사건 \( X \leq x \)가 공집합이 될 수밖에 없기 ..

1. 베이즈 정리 (Bayes' Theorem) 베이즈 정리는 조건부 확률을 계산하는 데 사용되는 공식이다. 사상 \(\{B_i; i=1,\dots,n\}\)이 사건 공간의 분할이고, \(P(B_i) > 0\)인 경우, 사건 \(A\)에 대한 조건부 확률 \(P(B_k A)\)는 \( P(B_k  A) = \frac{P(A  B_k) P(B_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(A  B_i) P(B_i)} \)   2. 보조정리 이미지에 있는 수식은 베이즈 정리(Bayes' Theorem)의 한 형태로, 두 사건 \( A \)와 \( B \)에 대한 조건부 확률 \( P(B A) \)는 사건 \( A \)가 발생한 후 사건 \( B \)가 발생할 확률을 나타낸다. \( P(B  A) = \frac{P(A..