베이즈 정리 (Bayes' Theorem) 감염 확률

 

 

 1. 베이즈 정리 (Bayes' Theorem)

베이즈 정리는 조건부 확률을 계산하는 데 사용되는 공식이다. 사상 $\{B_i;i=1,\dots ,n\}$이 사건 공간의 분할이고, $P(B_i)>0$인 경우, 사건 $A$에 대한 조건부 확률 $P(B_{k}A)$는 

$P(B_{k}A)=\frac{P(A{B}_k)P(B_k)}{\sum _{i=1}^{n}P(A{B}_i)P(B_i)}$

 

 

 2. 보조정리 이미지에 있는 수식은 베이즈 정리(Bayes' Theorem)의 한 형태로, 두 사건 $A$와 $B$에 대한 조건부 확률 $P(BA)$는 사건 $A$가 발생한 후 사건 $B$가 발생할 확률을 나타낸다.

$P(BA)=\frac{P(AB)P(B)}{P(AB)P(B)+P(A\bar{B})P(\bar{B})}$

 
- $P(BA)$: 사건 $A$가 발생한 후 사건 $B$가 발생할 확률.
- $P(AB)$: 사건 $B$가 발생한 경우 사건 $A$가 발생할 확률.
- $P(B)$: 사건 $B$가 발생할 확률.
- $P(\bar{B})$: 사건 $B$가 발생하지 않을 확률 (즉, $1-P(B)$).
- $P(A\bar{B})$: 사건 $B$가 발생하지 않은 경우 사건 $A$가 발생할 확률.

 

 

 

 

 

 

 

eg.

양성 반응이 나타난 환자가 실제로 질병에 감염될 확률

1. 질병에 감염될 확률 ($P(\text{감염})$): 1000명 중 1명, 즉 $P(\text{감염})=\frac{1}{1000}=0.001$.
2. 질병에 감염되지 않을 확률 ($P(\text{건강})$): $P(\text{건강})=1-P(\text{감염})=0.999$.
3. 양성 반응일 확률 (감염된 경우) ($P(+|\text{감염})$): 95%, 즉 $P(+|\text{감염})=0.95$.
4. 양성 반응일 확률 (건강한 경우, 즉 가양성) ($P(+|\text{건강})$): 5%, 즉 $P(+|\text{건강})=0.05$.

 

 전체 양성 반응 확률 $P(+)$ 계산:

$$P(+)=P(+|\text{감염})\cdot P(\text{감염})+P(+|\text{건강})\cdot P(\text{건강})$$

$$P(+)=0.95\cdot 0.001+0.05\cdot 0.999$$

$$P(+)=0.00095+0.04995=0.0509$$

2. 양성 반응이 나타났을 때 감염 확률 $P(\text{감염}|+)$ 계산:

$$P(\text{감염}|+)=\frac{P(+|\text{감염})\cdot P(\text{감염})}{P(+)}$$

$$P(\text{감염}|+)=\frac{0.95\cdot 0.001}{0.0509}$$

$$P(\text{감염}|+)=\frac{0.00095}{0.0509}\approx 0.0187$$

 결론

양성 반응이 나타났을 때 실제로 질병에 감염될 확률은 약 1.87%이다. 

이는 질병이 드물고, 검사에서 가양성이 발생할 확률이 상대적으로 높은 상황에서는 양성 반응이 나타나더라도 실제로 감염되었을 확률이 낮다는 것을 의미한다.