비복원추출 - 포커게임

 

 

 

포커 게임에서 카드를 한 번 뽑으면 그 카드는 다시 덱에 돌아가지 않기 때문에, 매번 카드의 수가 줄어든다. 한 장의 카드를 뽑고 난 후에는 덱에 남은 카드의 수가 51장이 되고, 두 번째 카드를 뽑고 나면 남은 카드의 수가 50장이 된다. 비복원추출에서는 한번 선택된 항목이 다시 선택될 수 없기 때문에, 각 단계에서 확률이 변하게 된다. 

 

 

 

 

 5장 포커 (Five-card Draw Poker)를 기준


- 포커 덱: 52장의 카드 (13개의 랭크, 4개의 슈트)
- 비복원추출: 각 카드는 한 번 뽑히면 다시 덱에 돌아가지 않는다.
- 조합: 특정 핸드를 만들기 위해 필요한 카드 조합의 수를 계산한다.

 

 

 1. 원페어 (One Pair)
원페어는 같은 랭크의 카드 2장과 나머지 3장은 다른 랭크의 카드이다.

\[
P(\text{One Pair}) = \frac{\binom{13}{1} \cdot \binom{4}{2} \cdot \binom{12}{3} \cdot \left(\binom{4}{1}\right)^3}{\binom{52}{5}}
\]

- \(\binom{13}{1}\): 한 랭크를 선택하는 방법
- \(\binom{4}{2}\): 그 랭크에서 두 장을 선택하는 방법
- \(\binom{12}{3}\): 나머지 세 랭크를 선택하는 방법
- \(\left(\binom{4}{1}\right)^3\): 각 랭크에서 한 장씩 선택하는 방법
- \(\binom{52}{5}\): 52장 중에서 5장을 선택하는 방법

 

 

 

 

 2. 투페어 (Two Pair)
투페어는 두 가지 랭크의 카드 2장씩과 나머지 1장은 다른 랭크의 카드이다.

\[
P(\text{Two Pair}) = \frac{\binom{13}{2} \cdot \left(\binom{4}{2}\right)^2 \cdot \binom{11}{1} \cdot \binom{4}{1}}{\binom{52}{5}}
\]

- \(\binom{13}{2}\): 두 랭크를 선택하는 방법
- \(\left(\binom{4}{2}\right)^2\): 각 랭크에서 두 장씩 선택하는 방법
- \(\binom{11}{1}\): 나머지 한 랭크를 선택하는 방법
- \(\binom{4}{1}\): 그 랭크에서 한 장을 선택하는 방법

 

 

 

 3. 트리플 (Three of a Kind)
트리플은 같은 랭크의 카드 3장과 나머지 2장은 다른 랭크의 카드이다.

\[
P(\text{Three of a Kind}) = \frac{\binom{13}{1} \cdot \binom{4}{3} \cdot \binom{12}{2} \cdot \left(\binom{4}{1}\right)^2}{\binom{52}{5}}
\]

- \(\binom{13}{1}\): 한 랭크를 선택하는 방법
- \(\binom{4}{3}\): 그 랭크에서 세 장을 선택하는 방법
- \(\binom{12}{2}\): 나머지 두 랭크를 선택하는 방법
- \(\left(\binom{4}{1}\right)^2\): 각 랭크에서 한 장씩 선택하는 방법

 

 4. 스트레이트 (Straight)
스트레이트는 연속된 랭크의 카드 5장이다. (여기서는 플러쉬가 아닌 경우만 고려한다.)

\[
P(\text{Straight}) = \frac{10 \cdot \left(\binom{4}{1}\right)^5 - 10 \cdot 4}{\binom{52}{5}}
\]

- 10: 스트레이트를 만들 수 있는 시작 랭크의 수 (A-2-3-4-5 부터 10-J-Q-K-A까지)
- \(\left(\binom{4}{1}\right)^5\): 각 랭크에서 한 장씩 선택하는 방법
- \(10 \cdot 4\) : 스트레이트 플러쉬의 경우를 빼줌

 

 

 

 

 5. 플러쉬 (Flush)
플러쉬는 같은 슈트의 카드 5장이다. (여기서는 스트레이트 플러쉬가 아닌 경우만 고려한다.)

\[
P(\text{Flush}) = \frac{\binom{4}{1} \cdot \binom{13}{5} - 10 \cdot 4}{\binom{52}{5}}
\]

- \(\binom{4}{1}\): 한 슈트를 선택하는 방법
- \(\binom{13}{5}\): 그 슈트에서 5장을 선택하는 방법
- \(10 \cdot 4\): 스트레이트 플러쉬의 경우를 빼줌

 

 

 

 

 6. 풀하우스 (Full House)
풀하우스는 같은 랭크의 카드 3장과 또 다른 같은 랭크의 카드 2장이다.

\[
P(\text{Full House}) = \frac{\binom{13}{1} \cdot \binom{4}{3} \cdot \binom{12}{1} \cdot \binom{4}{2}}{\binom{52}{5}}
\]

- \(\binom{13}{1}\): 트리플을 만들 랭크를 선택하는 방법
- \(\binom{4}{3}\): 그 랭크에서 세 장을 선택하는 방법
- \(\binom{12}{1}\): 페어를 만들 랭크를 선택하는 방법
- \(\binom{4}{2}\): 그 랭크에서 두 장을 선택하는 방법

 

 7. 포카드 (Four of a Kind)
포카드는 같은 랭크의 카드 4장과 나머지 1장은 다른 랭크의 카드이다.

\[
P(\text{Four of a Kind}) = \frac{\binom{13}{1} \cdot \binom{4}{4} \cdot \binom{48}{1}}{\binom{52}{5}}
\]

- \(\binom{13}{1}\): 한 랭크를 선택하는 방법
- \(\binom{4}{4}\): 그 랭크에서 네 장을 선택하는 방법 (이는 항상 1이다)
- \(\binom{48}{1}\): 나머지 48장 중 한 장을 선택하는 방법
- \(\binom{52}{5}\): 52장 중 5장을 선택하는 방법

 

 포카드 계산
\[
P(\text{Four of a Kind}) = \frac{\binom{13}{1} \cdot \binom{4}{4} \cdot \binom{48}{1}}{\binom{52}{5}} = \frac{13 \cdot 1 \cdot 48}{2,598,960} = \frac{624}{2,598,960} \approx 0.000240096
\]

 

 

 

 

 

 

 8. 스트레이트 플러쉬 (Straight Flush)

스트레이트 플러쉬는 같은 슈트의 연속된 5장이다.

\[
P(\text{Straight Flush}) = \frac{10 \cdot \binom{4}{1}}{\binom{52}{5}}
\]

- 10: 스트레이트를 만들 수 있는 시작 랭크의 수 (A-2-3-4-5 부터 10-J-Q-K-A까지)
- \(\binom{4}{1}\): 각 스트레이트가 해당 슈트에서 나올 수 있는 방법의 수 (4개의 슈트 중 1개)
- \(\binom{52}{5}\): 52장 중 5장을 선택하는 방법

 

 

 2. 스트레이트 플러쉬 계산
\[
P(\text{Straight Flush}) = \frac{10 \cdot \binom{4}{1}}{\binom{52}{5}} = \frac{10 \cdot 4}{2,598,960} = \frac{40}{2,598,960} \approx 0.00001539
\]

 

 

 

 

- 포카드의 확률은 약 0.000240096 (또는 약 0.024%)
- 스트레이트 플러쉬의 확률은 약 0.00001539