유한 표본공간 (Finite Sample Space)

유한 표본공간은 확률 이론에서 가능한 모든 결과(사건)의 집합이 유한한 경우를 의미한다. 표본공간 \(\Omega\)가 유한한 경우, 이 공간 내의 사건들은 다음과 같은 성질을 갖는다:

1. 모든 단일 사건의 확률이 동일함:
   모든 가능한 결과가 동일한 확률로 발생한다고 가정한다. 예를 들어, 공정한 주사위를 던질 때, 각 면이 나올 확률은 동일하게 \( \frac{1}{6} \)이다.

2. 확률의 합이 1이다 :
   표본공간에 속하는 모든 단일 사건의 확률을 더하면 항상 1이 된다. 이는 공리에서 \( P(\Omega) = 1 \)을 의미한다.

3. 부분집합의 확률 계산:
   표본공간 \(\Omega\)의 부분집합 \( A \)가 \( N(A) \)개의 원소를 갖고 있을 때, \( A \)의 확률은 다음과 같이 계산된다:
   \[
   P(A) = \frac{N(A)}{N}
   \]
   여기서 \( N \)은 전체 표본공간의 원소 개수이고, \( N(A) \)는 부분집합 \( A \)의 원소 개수이다.

 

 

 

 

 

 

ex)

1. 주사위 던지기:
   - 표본공간: \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)
   - 각 사건의 확률: \( P(\{i\}) = \frac{1}{6} \) (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)
   - 부분집합 \( A \)가 \(\{2, 4, 6\}\)일 때, \( P(A) = \frac{3}{6} = 0.5 \)

2. 동전 던지기:
   - 표본공간: \(\Omega = \{H, T\} \) (H: 앞면, T: 뒷면)
   - 각 사건의 확률: \( P(\{H\}) = P(\{T\}) = \frac{1}{2} \)
   - 부분집합 \( A \)가 \(\{H\}\)일 때, \( P(A) = \frac{1}{2} = 0.5 \)

 

유한 표본공간에서는 가능한 결과가 유한하며, 각 결과가 동일한 확률을 가지는 경우 확률 계산이 단순해진다.

 

 

 

 

정의된 확률 함수 \( P(\cdot) \)는 다음을 만족한다고 가정하면

1. \( P(\{\omega_1\}) = P(\{\omega_2\}) = \ldots = P(\{\omega_N\}) = \frac{1}{N} \)
2. \( \Omega \)의 부분집합 \( A \)가 \( N(A) \)개의 원소를 갖고 있다면 \( P(A) = \frac{N(A)}{N} \)

 

 

발생 가능성이 동일한 확률 함수 (Equally Likely Probability Function)

- 위의 조건 1과 2를 만족하는 확률 함수 \( P(\cdot) \)는 발생 가능성이 동일한 확률 함수라고 정의함.