De Morgan's Theorem 집합론에서 집합의 합집합과 교집합의 여집합에 대한 법칙

드모르간의 정리

 

집합의 합집합과 교집합의 여집합에 대한 두 가지 기본 법칙

1. 여러 집합의 합집합의 여집합은 각 집합의 여집합의 교집합과 같다 :
   \[
   \overline{\bigcup_{i} A_i} = \bigcap_{i} \overline{A_i}
   \]
 여러 집합의 합집합에 속하지 않는 원소는 개별 집합에 모두 속하지 않는 원소와 같다는 의미이다.

 

2. 여러 집합의 교집합의 여집합은 각 집합의 여집합의 합집합과 같다:
   \[
   \overline{\bigcap_{i} A_i} = \bigcup_{i} \overline{A_i}
   \]
 여러 집합의 교집합에 속하지 않는 원소는 적어도 하나의 여집합에 속하는 원소와 같다는 의미이다.

 

드모르간의 정리의 첫 번째 부분에 대한 증명

- 원소 \(\omega\)가 여러 집합 \( \bigcup_{i} A_i \)의 합집합의 여집합에 속한다.
- 이는 \(\omega\)가 \( \bigcup_{i} A_i \)의 합집합에 속하지 않는다는 것과 같다.
- 이는 \(\omega\)가 개별 집합 \( A_i \) 중 어느 하나에도 속하지 않는다는 것과 같다.
- 따라서 \(\omega\)는 각 집합의 여집합의 교집합 \( \bigcap_{i} \overline{A_i} \)에 속한다.

 

 

 두 번째 증명

 

 합집합과 교집합

- 합집합 (\(\bigcup_{i} A_i\)): 원소 \(\omega\)가 합집합에 속하려면 최소한 하나의 집합 \(A_i\)에 속해야 한다.
- 교집합 (\(\bigcap_{i} A_i\)): 원소 \(\omega\)가 교집합에 속하려면 모든 집합 \(A_i\)에 속해야 한다.