장사꾼의 포아송 분포

 

 

 

 

식당에 방문하는 손님 수가 포아송 분포를 따른다는 것은, 일정한 시간 동안에 식당에 방문하는 손님의 수가 특정한 확률 분포를 따르는 것을 의미한다. 

 

■ 포아송 분포의 조건

 

   포아송 분포는 일정한 시간 간격이나 공간 내에서 발생하는 사건의 수를 모델링하여, 한 시간 동안 또는 하루 동안 식당에 방문하는 손님 수를 가정할 수 있다. 특정 시간 간격 동안 발생하는 사건의 수는 다른 시간 간격 동안 발생하는 사건의 수와 독립적이며 한 시간 동안 몇 명의 손님이 방문하는지는 다른 시간 동안 몇 명의 손님이 방문하는지에 영향을 미치지 않고 특정 시간 동안 평균적으로 발생하는 사건의 수 (평균 손님 수) 를 λ (람다)라고 한다.
   
■ 포아송 분포와 이산 확률 분포

 

 

 

■ 수학적 정의

포아송 분포의 확률 질량 함수
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]

여기서,
- \( P(X = k) \)는 특정 시간 동안 k명의 손님이 방문할 확률
- \( \lambda \)는 단위 시간당 평균 손님 수
- \( e \)는 자연로그의 밑
- \( k \)는 손님의 수 (0, 1, 2, 3, ...).

 

□ eg.

예를 들어, 한 시간 동안 평균적으로 5명의 손님이 방문하는 식당이 있다고 가정할 경우, λ = 5이며 식당에 정확히 3명의 손님이 방문할 확률은 

\[ P(X = 3) = \frac{5^3 e^{-5}}{3!} \approx 0.1404 \]

이는 특정한 한 시간 동안 정확히 3명의 손님이 방문할 확률이 약 14.04%이다.

■ 요지

 장사를 할 때 일어나는 사건이 포아송 분포를 따른다는 것은 식당에 방문하는 손님의 수가 시간에 따라 일정한 평균 발생률(λ)을 가지고 독립적으로 발생하며, 이 손님 수가 특정한 확률 분포를 따른다는 의미이며 다양한 운영 전략을 세울 수 있다.

 

 

 

□ eg.2  손님 방문 수

- 한 식당에서 한 시간 동안 평균적으로 10명의 손님이 방문한다고 가정할 때 손님 방문 수는 포아송 분포를 따른다.

q.  시간 동안 정확히 8명의 손님이 방문할 확률은?

 

 

\[ P(X = 8) = \frac{10^8 e^{-10}}{8!} \]


\[ P(X = 8) \approx 0.112 \]

즉, 한 시간 동안 정확히 8명의 손님이 방문할 확률은 약 11.2%이다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

□ eg.2  재료 사용량


한 식당에서 하루 평균적으로 20kg의 재료가 사용된다고 가정


하루에 18kg의 재료가 사용될 확률은?


\[ P(X = 18) = \frac{20^{18} e^{-20}}{18!} \]


\[ P(X = 18) \approx 0.084 \]

즉, 하루에 정확히 18kg의 재료가 사용될 확률은 약 8.4%

□ eg.3 재료 준비 방법

 

 

   - 먼저, 평균적으로 하루에 사용되는 재료의 양(λ)을 파악해야 한다. 예를 들어, 하루 평균 20kg의 재료가 사용된다고 가정

   - 포아송 분포는 하루에 사용될 재료의 양이 변동할 수 있다는 것을 고려하여 안전 재고 설정

   - 특정 확률 이상으로 재료가 소진되지 않도록 재료를 준비해야 한다. 예를 들어, 하루 동안 재료가 다 소진될 확률을 5% 미만으로 유지하고 싶다면?  ▽

 

 

 

 

▶  평균 재료 사용량(λ): 20kg
▶  재료가 다 소진될 확률을 5% 미만으로 유지하고 싶음

        ▷. 하루 사용량이 20kg인 경우, 재료가 25kg 이상 사용될 확률을 계산

포아송 분포에서 특정 값 k 이상의 값은

\[ P(X \geq k) = 1 - P(X < k) \]

 

        ▷ 포아송 분포를 이용해 k를 결정:
   - 평균 사용량 λ = 20일 때, k = 25kg 이상 사용될 확률이 5% 미만이 되도록 설정

\[ P(X \geq 25) = 1 - \sum_{i=0}^{24} \frac{20^i e^{-20}}{i!} \]


\[ P(X \geq 25) \approx 1 - 0.951 \]

즉, 25kg 이상 사용될 확률이 약 4.9%

따라서 하루 평균 20kg의 재료를 사용하는 경우, 재료가 다 소진될 확률이 5% 미만이 되도록 하기 위해 하루에 25kg의 재료를 준비하는 것이 맞다.