함수 \( f(x) \)가 이산형 밀도 함수로 정의되려면 다음 세 가지 조건을 만족해야 한다. 1. \( f(x) > 0 \) for \( x = x_j \), \( j = 1, 2, \dots \):    - 함수 \( f(x) \)는 특정 값 \( x_j \)에서만 0보다 큰 값, 특정 이산값 \( x_j \)에서만 확률을 가진다.    - 이산형 확률 분포에서 특정 값 \( x_j \)에 확률을 할당하는 것을 의미한다. 2. \( f(x) = 0 \) for \( x \neq x_j \), \( j = 1, 2, \dots \):    - \( f(x) \)는 \( x_j \)가 아닌 다른 값에서는 0이 된다. 이는 이산형 확률 분포의 특성상, 확률이 특정 값에서만 존재하고 다른 값에서는 존재하지 ..

누적 분포 함수(Cumulative Distribution Function, CDF) \( F_X(x) \)는 확률 변수가 \( X \)일 때, 그 값이 \( x \) 이하가 될 확률을 나타내는 함수이다. \( F_X(x) = P(X \leq x) \)로 정의된다. 성질 1:  \[ \lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0 \]  증명: \[ \lim_{x \to -\infty} F_X(x) = \lim_{x \to -\infty} P(X \leq x) \] 확률 변수 \( X \)는 정의상 그 값이 실수인 변수이다. 따라서 \( x \to -\infty \) 일 때 \( X \leq x \)가 참일 확률은 0에 수렴한다. 이는 사건 \( X \leq x \)가 공집합이 될 수밖에 없기 ..

1. 베이즈 정리 (Bayes' Theorem) 베이즈 정리는 조건부 확률을 계산하는 데 사용되는 공식이다. 사상 \(\{B_i; i=1,\dots,n\}\)이 사건 공간의 분할이고, \(P(B_i) > 0\)인 경우, 사건 \(A\)에 대한 조건부 확률 \(P(B_k A)\)는 \( P(B_k  A) = \frac{P(A  B_k) P(B_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(A  B_i) P(B_i)} \)   2. 보조정리 이미지에 있는 수식은 베이즈 정리(Bayes' Theorem)의 한 형태로, 두 사건 \( A \)와 \( B \)에 대한 조건부 확률 \( P(B A) \)는 사건 \( A \)가 발생한 후 사건 \( B \)가 발생할 확률을 나타낸다. \( P(B  A) = \frac{P(A..

포커 게임에서 카드를 한 번 뽑으면 그 카드는 다시 덱에 돌아가지 않기 때문에, 매번 카드의 수가 줄어든다. 한 장의 카드를 뽑고 난 후에는 덱에 남은 카드의 수가 51장이 되고, 두 번째 카드를 뽑고 나면 남은 카드의 수가 50장이 된다. 비복원추출에서는 한번 선택된 항목이 다시 선택될 수 없기 때문에, 각 단계에서 확률이 변하게 된다.      5장 포커 (Five-card Draw Poker)를 기준- 포커 덱: 52장의 카드 (13개의 랭크, 4개의 슈트) - 비복원추출: 각 카드는 한 번 뽑히면 다시 덱에 돌아가지 않는다. - 조합: 특정 핸드를 만들기 위해 필요한 카드 조합의 수를 계산한다.   1. 원페어 (One Pair) 원페어는 같은 랭크의 카드 2장과 나머지 3장은 다른 랭크의 카드이..

- \( M \)개의 공이 있고 \( K \)개의 공은 불량품이고, \( M-K \)개의 공은 정상품이다.    - \( n \)개의 공을 뽑을 때, \( k \)개의 불량품과 \( n-k \)개의 정상품을 뽑을 확률을 구하라.  1. 복원추출의 경우:    \[    P(A_k) = \binom{n}{k} \cdot \frac{K^k \cdot (M - K)^{n - k}}{M^n}    \]    이 식은 복원추출로 \( n \)개의 공을 뽑을 때 \( k \)개의 불량품을 뽑을 확률을 나타낸다. 2. 비복원추출의 경우:    \[    P(A_k) = \binom{n}{k} \cdot \frac{K (M - K)_{n - k}}{\binom{M}{n}}    \]    복원추출의 경우:    - 이..

유한 표본공간은 확률 이론에서 가능한 모든 결과(사건)의 집합이 유한한 경우를 의미한다. 표본공간 \(\Omega\)가 유한한 경우, 이 공간 내의 사건들은 다음과 같은 성질을 갖는다: 1. 모든 단일 사건의 확률이 동일함:    모든 가능한 결과가 동일한 확률로 발생한다고 가정한다. 예를 들어, 공정한 주사위를 던질 때, 각 면이 나올 확률은 동일하게 \( \frac{1}{6} \)이다. 2. 확률의 합이 1이다 :    표본공간에 속하는 모든 단일 사건의 확률을 더하면 항상 1이 된다. 이는 공리에서 \( P(\Omega) = 1 \)을 의미한다. 3. 부분집합의 확률 계산:    표본공간 \(\Omega\)의 부분집합 \( A \)가 \( N(A) \)개의 원소를 갖고 있을 때, \( A \)의 확..