복원 추출, 비복원 추출 - 특정 특성을 가진 공을 뽑기

 

 

   - \( M \)개의 공이 있고 \( K \)개의 공은 불량품이고, \( M-K \)개의 공은 정상품이다.
   - \( n \)개의 공을 뽑을 때, \( k \)개의 불량품과 \( n-k \)개의 정상품을 뽑을 확률을 구하라.

 

 

1. 복원추출의 경우:
   \[
   P(A_k) = \binom{n}{k} \cdot \frac{K^k \cdot (M - K)^{n - k}}{M^n}
   \]
   이 식은 복원추출로 \( n \)개의 공을 뽑을 때 \( k \)개의 불량품을 뽑을 확률을 나타낸다.

2. 비복원추출의 경우:
   \[
   P(A_k) = \binom{n}{k} \cdot \frac{K (M - K)_{n - k}}{\binom{M}{n}}
   \]

 

 

 

 복원추출의 경우:
   - 이항 계수 \(\binom{n}{k}\): \( n \)개의 공 중에서 \( k \)개의 불량품을 선택하는 방법의 수.
   - \( K^k \): \( k \)개의 불량품을 뽑을 확률.
   - \( (M - K)^{n - k} \): \( n - k \)개의 정상품을 뽑을 확률.
   - \( M^n \): 복원추출로 \( n \)개의 공을 뽑는 모든 가능한 경우의 수.

 

 

eg.

 

- 총 공의 개수 \( M = 10 \)
- 불량품 공의 개수 \( K = 4 \)
- 뽑는 공의 개수 \( n = 3 \)
- 뽑은 공 중 불량품 공의 개수 \( k = 2 \)


\[
P(A_2) = \binom{3}{2} \cdot \frac{4^2 \cdot (10 - 4)^{3 - 2}}{10^3}
\]


 이항 계수 \(\binom{3}{2}\):
   \[
   \binom{3}{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 1} = 3
   \]

 확률 계산:
   \[
   P(A_2) = 3 \cdot \frac{4^2 \cdot 6^1}{10^3}
   \]
   \[
   = 3 \cdot \frac{16 \cdot 6}{1000}
   \]
   \[
   = 3 \cdot \frac{96}{1000}
   \]
   \[
   = 3 \cdot 0.096
   \]
   \[
   = 0.288
   \]

 

복원추출의 경우 \( k = 2 \)개의 불량품을 뽑을 확률은 0.288이다

 

 

 

 

 

 

 

 

비복원추출의 경우:
   - 이항 계수 \(\binom{n}{k}\): \( n \)개의 공 중에서 \( k \)개의 불량품을 선택하는 방법의 수.
   - \(\frac{K (M - K)_{n - k}}{\binom{M}{n}}\): 비복원추출로 공을 뽑을 때 각 단계의 확률을 반영하는 식이다.

 

 

- 총 공의 개수 \( M = 10 \)
- 불량품 공의 개수 \( K = 4 \)
- 뽑는 공의 개수 \( n = 3 \)
- 뽑은 공 중 불량품 공의 개수 \( k = 2 \)

 

\[
P(A_2) = \binom{3}{2} \cdot \frac{\binom{4}{2} \cdot \binom{6}{1}}{\binom{10}{3}}
\]



 이항 계수 \(\binom{3}{2}\):
   \[
   \binom{3}{2} = 3
   \]

분자 계산:
   \[
   \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6
   \]
   \[
   \binom{6}{1} = \frac{6!}{1!(6-1)!} = 6
   \]

 분모 계산:
   \[
   \binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120
   \]

 

 

 

식 정리
   \[
   P(A_2) = 3 \cdot \frac{6 \cdot 6}{120}
   \]
   \[
   = 3 \cdot \frac{36}{120}
   \]
   \[
   = 3 \cdot 0.3
   \]
   \[
   = 0.9
   \]

비복원추출의 경우 \( k = 2 \)개의 불량품을 뽑을 확률은 0.9이다.