베이즈 정리 (Bayes' Theorem) 감염 확률

 

 

 1. 베이즈 정리 (Bayes' Theorem)

베이즈 정리는 조건부 확률을 계산하는 데 사용되는 공식이다. 사상 \(\{B_i; i=1,\dots,n\}\)이 사건 공간의 분할이고, \(P(B_i) > 0\)인 경우, 사건 \(A\)에 대한 조건부 확률 \(P(B_k A)\)는 

\(
P(B_k  A) = \frac{P(A  B_k) P(B_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(A  B_i) P(B_i)}
\)

 

 

 2. 보조정리 이미지에 있는 수식은 베이즈 정리(Bayes' Theorem)의 한 형태로, 두 사건 \( A \)와 \( B \)에 대한 조건부 확률 \( P(B A) \)는 사건 \( A \)가 발생한 후 사건 \( B \)가 발생할 확률을 나타낸다.

\(
P(B  A) = \frac{P(A  B) P(B)}{P(A  B) P(B) + P(A  \overline{B}) P(\overline{B})}
\)

 
- \( P(B  A) \): 사건 \( A \)가 발생한 후 사건 \( B \)가 발생할 확률.
- \( P(A  B) \): 사건 \( B \)가 발생한 경우 사건 \( A \)가 발생할 확률.
- \( P(B) \): 사건 \( B \)가 발생할 확률.
- \( P(\overline{B}) \): 사건 \( B \)가 발생하지 않을 확률 (즉, \( 1 - P(B) \)).
- \( P(A  \overline{B}) \): 사건 \( B \)가 발생하지 않은 경우 사건 \( A \)가 발생할 확률.

 

 

 

 

 

 

 

eg.

양성 반응이 나타난 환자가 실제로 질병에 감염될 확률

1. 질병에 감염될 확률 (\(P(\text{감염})\)): 1000명 중 1명, 즉 \(P(\text{감염}) = \frac{1}{1000} = 0.001\).
2. 질병에 감염되지 않을 확률 (\(P(\text{건강})\)): \(P(\text{건강}) = 1 - P(\text{감염}) = 0.999\).
3. 양성 반응일 확률 (감염된 경우) (\(P(+|\text{감염})\)): 95%, 즉 \(P(+|\text{감염}) = 0.95\).
4. 양성 반응일 확률 (건강한 경우, 즉 가양성) (\(P(+|\text{건강})\)): 5%, 즉 \(P(+|\text{건강}) = 0.05\).

 

 전체 양성 반응 확률 \(P(+)\) 계산:

\[
P(+) = P(+|\text{감염}) \cdot P(\text{감염}) + P(+|\text{건강}) \cdot P(\text{건강})
\]

\[
P(+) = 0.95 \cdot 0.001 + 0.05 \cdot 0.999
\]

\[
P(+) = 0.00095 + 0.04995 = 0.0509
\]

2. 양성 반응이 나타났을 때 감염 확률 \(P(\text{감염}|+)\) 계산:

\[
P(\text{감염}|+) = \frac{P(+|\text{감염}) \cdot P(\text{감염})}{P(+)}
\]

\[
P(\text{감염}|+) = \frac{0.95 \cdot 0.001}{0.0509}
\]

\[
P(\text{감염}|+) = \frac{0.00095}{0.0509} \approx 0.0187
\]

 결론

양성 반응이 나타났을 때 실제로 질병에 감염될 확률은 약 1.87%이다. 

이는 질병이 드물고, 검사에서 가양성이 발생할 확률이 상대적으로 높은 상황에서는 양성 반응이 나타나더라도 실제로 감염되었을 확률이 낮다는 것을 의미한다.