누적 분포 함수(Cumulative Distribution Function, CDF)의 성질

 

 

 

 

누적 분포 함수(Cumulative Distribution Function, CDF) \( F_X(x) \)는 확률 변수가 \( X \)일 때, 그 값이 \( x \) 이하가 될 확률을 나타내는 함수이다. \( F_X(x) = P(X \leq x) \)로 정의된다.

 성질 1: 
\[
\lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0
\]

 증명:
\[
\lim_{x \to -\infty} F_X(x) = \lim_{x \to -\infty} P(X \leq x)
\]
확률 변수 \( X \)는 정의상 그 값이 실수인 변수이다. 따라서 \( x \to -\infty \) 일 때 \( X \leq x \)가 참일 확률은 0에 수렴한다. 이는 사건 \( X \leq x \)가 공집합이 될 수밖에 없기 때문이다.

따라서,
\[
\lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0
\]

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 성질 2: 
\[
\lim_{x \to \infty} F_X(x) = 1
\]

 증명:
\[
\lim_{x \to \infty} F_X(x) = \lim_{x \to \infty} P(X \leq x)
\]
\( X \leq x \)는 \( x \to \infty \)로 갈수록 사건 \( X \leq x \)는 전체 표본 공간을 포함하게 되므로, 이 확률은 결국 1에 가까워진다. 즉, 확률 변수 \( X \)가 어떤 값을 가지든 \( x \)가 충분히 크다면, \( X \leq x \)는 거의 항상 참이 된다.

따라서,
\[
\lim_{x \to \infty} F_X(x) = 1
\]

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 성질 3: 누적 분포 함수는 단조 증가 함수이다.
즉, \( a < b \)라면, \( F_X(a) \leq F_X(b) \)임을 보여야 한다.

 증명:
확률 \( P(X \leq b) \)는 사건 \( \{ \omega \mid X(\omega) \leq b \} \)에 해당하며, 이는 사건 \( \{ \omega \mid X(\omega) \leq a \} \)에 포함된다. 따라서 \( a < b \)일 때,
\[
\{ \omega \mid X(\omega) \leq a \} \subseteq \{ \omega \mid X(\omega) \leq b \}
\]
가 성립한다. 사건의 포함 관계에 의해 확률 역시 성립하므로,
\[
P(X \leq a) \leq P(X \leq b)
\]
따라서,
\[
F_X(a) \leq F_X(b)
\]
즉, \( F_X(x) \)는 단조 증가 함수이다.

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 성질 4: 누적 분포 함수는 오른쪽 연속 함수이다.
즉, 임의의 \( x \)에 대하여 \( \lim_{h \to 0^+} F_X(x + h) = F_X(x) \)임을 증명해야 한다.

 증명:
누적 분포 함수의 정의에 의해,
\[
F_X(x) = P(X \leq x)
\]
로 주어진다. 오른쪽 연속성을 보이기 위해 \( x \)보다 약간 큰 값 \( x + h \)에 대한 \( F_X(x + h) \)를 고려한다. \( h \to 0^+ \)일 때, 사건 \( \{ X \leq x + h \} \)는 사건 \( \{ X \leq x \} \)에 한없이 가까워진다. 즉, \( P(X \leq x + h) \)는 \( P(X \leq x) \)에 수렴한다.

따라서,
\[
\lim_{h \to 0^+} F_X(x + h) = F_X(x)
\]
즉, 누적 분포 함수는 오른쪽 연속이다.