미분의 정의를 사용하여 함수의 도함수를 구하는 과정

1. 함수와 도함수 
   함수 \( f(x) = x^2 \)에 대해, 함수의 도함수를 구하기 위해 미분의 정의를 사용한다:

   \[
   f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
   \]

2. 함수 적용:
   \( f(x) = x^2 \)일 때, \( f(x+h) \)를 계산한다:

   \[
   f(x+h) = (x+h)^2
   \]

3. \( (x+h)^2 \) 확장하기:
   FOIL 방법을 사용하여 \( (x+h)^2 \)를 확장한다:

   \[
   (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2
   \]

4. \( f(x) \)를 \( f(x+h) \)에서 빼기:
   \[
   f(x+h) - f(x) = (x^2 + 2xh + h^2) - x^2
   \]


   \[
   f(x+h) - f(x) = 2xh + h^2
   \]

5. 차분 몫 설정하기:
   \[
   \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{2xh + h^2}{h}
   \]

6. 식 간단히 하기:
   분자에서 \( h \)를 인수로 묶어낸다:

   \[
   \frac{2xh + h^2}{h} = \frac{h(2x + h)}{h}
   \]


   \[
   2x + h
   \]

7. \( h \to 0 \)일 때 극한 계산하기:
   \[
   \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x
   \]

8. 결론:
   따라서, 함수 \( f(x) = x^2 \)의 도함수는:

   \[
   f'(x) = 2x
   \]

이렇게 해서 \( f(x) = x^2 \) 함수의 도함수는 \( f'(x) = 2x \)임을 알 수 있다.