수열 수렴과 발산

 

 

 

 

수열 \(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln(n!)}\)에서

먼저 \( \ln(n!) \)을 Stirling's Approximation을 사용하면, 큰 n에 대해 \( n! \)는 다음과 같이 근사할 수 있다:
\[ n! \approx \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \]

 

 

 

 Stirling의 근사법

Stirling의 근사법은 팩토리얼의 로그를 사용하는 데 기초한다. 먼저, \( n! \)의 자연 로그
\[ \ln(n!) = \ln(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n) = \sum_{k=1}^n \ln k \]

이 합을 적분으로 근사하면
\[ \sum_{k=1}^n \ln k \approx \int_{1}^n \ln x \, dx \]

적분을 계산하면:
\[ \int_{1}^n \ln x \, dx = x \ln x - x \Big|_{1}^{n} = n \ln n - n + 1 \]

\[ \ln(n!) \approx n \ln n - n + 1 \]

 지수로 변환하면:
\[ n! \approx e^{n \ln n - n + 1} = e \cdot \left(\frac{n}{e}\right)^n \]

 

따라서 주어진 수열은 다음과 같이 근사할 수 있다:
\[ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln(n!)} \approx \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n} \]

이제, 수열 \(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}\)이 수렴하는지 발산하는지를 확인하기 위해 적분 테스트를 사용할 수 있다.
\[ \int_{2}^{\infty} \frac{1}{x \ln x} \, dx \]

이 적분을 계산하면:
\[ \int \frac{1}{x \ln x} \, dx = \ln(\ln x) + C \]

\[ \int_{2}^{\infty} \frac{1}{x \ln x} \, dx = \lim_{t \to \infty} \ln(\ln t) - \ln(\ln 2) \]

무한대로 발산한다.
\[ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n} \]


결론적으로, 주어진 수열
\[ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln(n!)} \]
도 발산한다.