급수의 수렴 | 발산

 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib

# 백엔드 설정
matplotlib.use('Agg')

# x 범위 설정
x = np.linspace(1, 100, 400)

# 두 함수 정의
y_convergent = 1 / x**2
y_divergent = 1 / x

# 그래프 그리기
plt.plot(x, y_convergent, label=r'$y = \frac{1}{x^2}$ (Convergent)', color='blue')
plt.plot(x, y_divergent, label=r'$y = \frac{1}{x}$ (Divergent)', color='red')

# 제목 및 레이블 추가
plt.title('Convergence vs. Divergence')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')

# 범례 추가
plt.legend()

# 그래프 파일로 저장
plt.savefig('convergence_vs_divergence.png')

 

위 그래프에서 두 함수의 수렴과 발산을 비교

- 파란색 곡선: \( y = \frac{1}{x^2} \)로, 이는 수렴하는 함수이다. \( x \)가 무한대로 커질수록 값이 0에 가까워진다. 이 적분은 유한한 값으로 수렴한다.

- 빨간색 곡선: \( y = \frac{1}{x} \)로, 이는 발산하는 함수이다. \( x \)가 커질수록 값이 매우 느리게 줄어들기 때문에, 무한대까지 적분하면 발산하여 값이 무한대로 커진다.

 

 

 

 

 1. 함수 \( \frac{1}{x} \)의 적분

먼저, 함수 \( \frac{1}{x} \)를 \( 1 \)에서 \( \infty \)까지 적분해 보면:

\[
\int_1^{\infty} \frac{1}{x} \, dx = \left[ \ln(x) \right]_1^{\infty}
\]

이 결과는:

\[
\lim_{x \to \infty} \ln(x) - \ln(1) = \infty - 0 = \infty
\]

따라서, \( \frac{1}{x} \)를 무한대까지 적분하면 그 값은 무한대로 발산한다. 즉, 아무리 \( \frac{1}{x} \)가 천천히 0에 가까워지더라도, 적분을 통해 계산한 총합은 끝없이 커지기 때문에 발산한다고 말할 수 있다.

 2. 함수 \( \frac{1}{x^2} \)의 적분

다음으로, 함수 \( \frac{1}{x^2} \)를 \( 1 \)에서 \( \infty \)까지 적분하면:

\[
\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^{\infty}
\]

이 결과는:

\[
\lim_{x \to \infty} \left( -\frac{1}{x} \right) - \left( -\frac{1}{1} \right) = 0 - (-1) = 1
\]

따라서, \( \frac{1}{x^2} \)를 무한대까지 적분한 값은 1로 수렴한다. 이 함수는 더 빠르게 0으로 접근하기 때문에 그 총합이 유한한 값에 수렴하게 된다.

 차이점

- \( \frac{1}{x} \)는 무한히 천천히 0에 가까워지지만, 여전히 그 총합(적분)은 무한대까지 쌓여서 발산한다.
- \( \frac{1}{x^2} \)는 더 빠르게 0에 가까워지며, 그 총합은 유한한 값으로 수렴한다.

이 차이는 두 함수가 무한대에서 감소하는 속도에 기인하여 함수가 0에 얼마나 빨리 접근하느냐에 따라 적분의 값이 달라진다.

 

 

 

The problem asks whether the given series converges or diverges.

\[
\sum_{n=2}^{\infty} \int_1^{\infty} \frac{1}{x^n} \, dx
\]



 1단계: 적분 계산

각 \( n \)에 대해 적분을 계산해야 한다:

\[
\int_1^{\infty} \frac{1}{x^n} \, dx
\]

이것은 표준적인 무한 적분이다. \( n > 1 \)일 때, 적분은 수렴하며 다음과 같이 계산할 수 있다:

\[
\int_1^{\infty} \frac{1}{x^n} \, dx = \left[ \frac{x^{1-n}}{1-n} \right]_1^{\infty}
\]

 

경계값을 계산해 보면:

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{x^{1-n}}{1-n} = 0 \quad \text{(단, \( n > 1 \)일 때)}
\]

그리고 \( x = 1 \)일 때:

\[
\frac{1^{1-n}}{1-n} = \frac{1}{1-n}
\]

따라서 적분 결과는 다음과 같다:

\[
\int_1^{\infty} \frac{1}{x^n} \, dx = \frac{1}{n-1} \quad \text{(단, \( n > 1 \)일 때)}
\]

 2단계: 결과를 급수에 대입

이제 적분 결과를 급수에 대입한다:

\[
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n-1} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n-1}
\]

이를 다시 쓰면:

\[
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n-1} = \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m}
\]

 3단계: 급수 분석

\(\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m} \)는 조화급수로, 이 급수는 발산하는 것으로 잘 알려져 있다.

 결론:

주어진 급수는 조화급수로 수렴하지 않고 발산한다.