도함수가 0이 되는 지점

 

 

함수 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 10x \)의 정지점의 \( x \)-좌표를 찾으려면 함수의 도함수가 0이 되는 지점을 찾아야 한다.

 단계:
1. 함수의 도함수를 구한다:
   \[
   f'(x) = 3x^2 - 12x + 10
   \]

2. 도함수가 0이 되는 지점을 찾아 정지점을 구한다:
   \[
   3x^2 - 12x + 10 = 0
   \]

3. 이 이차방정식을 이차 방정식의 공식을 사용하여 풉니다:
   \[
   x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(3)(10)}}{2(3)}
   \]
   간단히 하면:
   \[
   x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 120}}{6}
   \]
   \[
   x = \frac{12 \pm \sqrt{24}}{6}
   \]
   \[
   x = \frac{12 \pm 2\sqrt{6}}{6}
   \]
   \[
   x = 2 \pm \frac{\sqrt{6}}{3}
   \]

따라서, 정지점의 \( x \)-좌표는:
\[
x = 2 + \frac{\sqrt{6}}{3} \quad \text{와} \quad x = 2 - \frac{\sqrt{6}}{3}
\]
이다.

 

 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Define the function and its derivative
def f(x):
    return x**3 - 6*x**2 + 10*x

def f_prime(x):
    return 3*x**2 - 12*x + 10

# Define the range of x values
x = np.linspace(0, 4, 400)
y = f(x)

# Solve for stationary points where f'(x) = 0
x_stationary1 = 2 + np.sqrt(6)/3
x_stationary2 = 2 - np.sqrt(6)/3
y_stationary1 = f(x_stationary1)
y_stationary2 = f(x_stationary2)

# Create the plot
plt.figure(figsize=(6,6))
plt.plot(x, y, 'w')  # Plot the function in white

# Mark the stationary points with magenta dots
plt.scatter((x_stationary1, x_stationary2), (y_stationary1, y_stationary2), color='magenta', zorder=5)

# Add horizontal green dashed lines at the stationary points
plt.hlines(y=y_stationary1, xmin=0, xmax=x_stationary1, color='green', linestyles='dashed')  # First stationary point
plt.hlines(y=y_stationary2, xmin=0, xmax=x_stationary2, color='green', linestyles='dashed')  # Second stationary point

# Customize the graph appearance
plt.axhline(0, color='white', lw=0.5)  # Add x-axis
plt.axvline(0, color='white', lw=0.5)  # Add y-axis
plt.gca().set_facecolor('black')       # Set background to black
plt.gca().spines['left'].set_color('white')
plt.gca().spines['bottom'].set_color('white')
plt.gca().tick_params(colors='red')
plt.title(r'$f(x) = x^3 - 6x^2 + 10x$', color='red', fontsize=16)

# Add text annotations for the stationary points
plt.text(x_stationary1, y_stationary1 + 0.5, r'$x = 2 + \frac{\sqrt{6}}{3}$', color='white', fontsize=12, ha='center')
plt.text(x_stationary2, y_stationary2 - 1, r'$x = 2 - \frac{\sqrt{6}}{3}$', color='white', fontsize=12, ha='center')

# Show the plot
plt.show()

 

 

plt.axhline(0, color='white', lw=0.5)  # x축 추가

 

• plt.axhline(0): 그래프에 y=0y = 0y=0인 수평선을 추가한다. 이 선이 x축을 형성하게 된다.
• color='white': 수평선을 흰색으로 그리겠다는 의미이다.
• lw=0.5: 선의 두께를 0.5로 설정한다. 값이 작을수록 선이 얇아진다.

 

plt.axvline(0, color='white', lw=0.5)  # y축 추가

 

 

• plt.axvline(0): 그래프에 x=0x = 0x=0인 수직선을 추가한다. 이 선이 y축을 형성하게 된다.
• color='white': 수직선을 흰색으로 설정한다.
• lw=0.5: 선의 두께를 0.5로 설정한다.

 

plt.gca().set_facecolor('black')  # 배경을 검은색으로 설정

 

• plt.gca(): 현재의 그래프 축 객체(axes)를 가져온다. 이 객체는 그래프의 전체 설정을 담당한다.
• set_facecolor('black'): 그래프의 배경색을 검은색으로 설정한다. 기본적으로 흰색이지만, 이 명령을 사용하면 검은색으로 변경된다.

plt.gca().spines['left'].set_color('white')

 

 

• spines['left']: 그래프의 왼쪽 테두리(y축 라인)를 선택한다.
• set_color('white'): 왼쪽 테두리의 색을 흰색으로 설정한다.

plt.gca().spines['bottom'].set_color('white')

 

 

 

 

plt.gca().tick_params(colors='red')

 

tick_params(colors='white'): 그래프 축에 표시되는 틱(tick) 값의 색상을 흰색으로 설정한다. 이로써 x축과 y축 숫자들이 흰색으로 표시된다.