리만 합

 

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{1 + \frac{3k}{n}} \ 
\]

 리만 합의 정의에 따라, 이는 다음 적분으로 변환된다:

\[
\int_0^1 \sqrt{1 + 3x} \, dx
\]

 

 

 

 

 

 
 리만 합의 정의
리만 합은 적분을 구할 때, 구간을 \(n\) 개로 쪼개어 각 작은 구간에서의 함수값과 구간의 길이를 곱하여 근사적으로 더한 것이다. 함수 \( f(x) \)가 구간 \([a, b]\)에서 적분 가능한 경우, 적분을 다음과 같이 표현할 수 있다:

\[
\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k^) \Delta x
\]

여기서:
- \( x_k^ \)는 \( k \)-번째 구간에서 선택한 점이고,
- \( \Delta x = \frac{b - a}{n} \)는 각 구간의 길이이다.

 

 

 리만 합으로 변환 

 1. 주어진 식:
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{1 + \frac{3k}{n}}
\]

여기서 \( \frac{1}{n} \)는 \( n \) 개로 나눈 구간의 길이, 즉 \( \Delta x \)와 같다.

 2. 구간의 범위 설정:
주어진 식을 보면, \( k \)는 1부터 \( n \)까지의 정수이고, 이를 0에서 1까지의 구간으로 매핑하려면 \( k \)를 \( n \)으로 나눈 값을 사용한다. 따라서, \( \frac{k}{n} \)는 \( k \)가 1일 때 0에 가까운 값에서 \( k \)가 \( n \)일 때 1에 가까운 값을 가지게 된다.

즉, \( \frac{k}{n} \)는 구간 \([0, 1]\)에서의 값으로 해석될 수 있다.

 3. 함수 \( \sqrt{1 + \frac{3k}{n}} \)의 변환:

리만 합을 적분으로 바꾸면, 

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{1 + \frac{3k}{n}} = \int_0^1 \sqrt{1 + 3x} \, dx
\]

여기서, \( \frac{1}{n} \)가 적분에서의 미소 구간 길이 \( \Delta x \)에 해당하고, \( \sqrt{1 + \frac{3k}{n}} \)는 함수 \( f(x) = \sqrt{1 + 3x} \)로 변환된 것이다.

 

 

 

 

 

 

  적분을 계산 

먼저, \(\int \sqrt{1 + 3x} \, dx\)의 부정적분을 구하면:

\[
\int \sqrt{1 + 3x} \, dx = \frac{2}{9} (1 + 3x)^{3/2}
\]

이제 정적분 구간 [0, 1]에 대해 계산한다:

\[
\left[\frac{2}{9} (1 + 3x)^{3/2} \right]_0^1 = \frac{2}{9} \left((1 + 3 \times 1)^{3/2} - (1 + 3 \times 0)^{3/2}\right)
\]

\[
= \frac{2}{9} \left(4^{3/2} - 1^{3/2}\right) = \frac{2}{9} \left(8 - 1\right) = \frac{2}{9} \times 7 = \frac{14}{9}
\]

따라서, 주어진 리만 합의 극한 값은:

\[
\boxed{\frac{14}{9}}
\]

 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 함수 정의: f(x) = sqrt(1 + 3x)
def f(x):
    return np.sqrt(1 + 3*x)

# x 구간 설정 (0부터 1까지)
x = np.linspace(0, 1, 400)
y = f(x)

# 리만 합을 그리기 위해, n개의 구간으로 나눈다.
n = 5  # 예시로 5개의 구간으로 나누어 봄
x_rect = np.linspace(0, 1, n+1)
y_rect = f((x_rect[:-1] + x_rect[1:]) / 2)  # 직사각형의 중간 지점에서 함수 값

# 직사각형 너비
dx = 1 / n

# 그래프 그리기
plt.figure(figsize=(8, 6))

# 함수 그래프
plt.plot(x, y, 'r', label=r'$f(x) = \sqrt{1 + 3x}$', linewidth=2)

# 리만 합 직사각형 그리기
for i in range(n):
    plt.bar(x_rect[i], y_rect[i], width=dx, align='edge', color='blue', alpha=0.3, edgecolor='black')

# 그래프 설정
plt.title(r"Riemann Sum Approximation for $\int_0^1 \sqrt{1 + 3x} dx$", fontsize=14)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.legend()
plt.grid(True)

# 그래프 보여주기
plt.show()