derivative and integral formulas

Derivatives
1. \( \frac{d}{dx} \left( \frac{x^{n+1}}{n+1} \right) = x^n \)
2. \( \frac{d}{dx} (x) = 1 \)
3. \( \frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x \)
4. \( \frac{d}{dx} (-\cos x) = \sin x \)
5. \( \frac{d}{dx} (\tan x) = \sec^2 x \)
6. \( \frac{d}{dx} (-\cot x) = \csc^2 x \)
7. \( \frac{d}{dx} (\sec x) = \sec x \tan x \)
8. \( \frac{d}{dx} (-\csc x) = \csc x \cot x \)
9. \( \frac{d}{dx} (\sin^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)
10. \( \frac{d}{dx} (\cos^{-1} x) = \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}} \)
11. \( \frac{d}{dx} (\tan^{-1} x) = \frac{1}{1 + x^2} \)
12. \( \frac{d}{dx} (\cot^{-1} x) = \frac{-1}{1 + x^2} \)
13. \( \frac{d}{dx} (\sec^{-1} x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}} \)
14. \( \frac{d}{dx} (\csc^{-1} x) = \frac{-1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}} \)
15. \( \frac{d}{dx} (e^x) = e^x \)
16. \( \frac{d}{dx} (\log |x|) = \frac{1}{x} \)
17. \( \frac{d}{dx} (a^x \log a) = a^x \)

Integrals
1. \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1 \)
2. \( \int dx = x + C \)
3. \( \int \cos x \, dx = \sin x + C \)
4. \( \int \sin x \, dx = -\cos x + C \)
5. \( \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C \)
6. \( \int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C \)
7. \( \int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C \)
8. \( \int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + C \)
9. \( \int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \sin^{-1} x + C \)
10. \( \int \frac{-dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \cos^{-1} x + C \)
11. \( \int \frac{dx}{1 + x^2} = \tan^{-1} x + C \)
12. \( \int \frac{-dx}{1 + x^2} = \cot^{-1} x + C \)
13. \( \int \frac{dx}{|x|\sqrt{x^2 - 1}} = \sec^{-1} x + C \)
14. \( \int \frac{-dx}{|x|\sqrt{x^2 - 1}} = \csc^{-1} x + C \)
15. \( \int e^x \, dx = e^x + C \)
16. \( \int \frac{dx}{x} = \log |x| + C \)
17. \( \int a^x dx = \frac{a^x}{\log a} + C \)