적분의 근사와 가우시안 적분의 결과를 이용하여 극한 값 구하기

 

 

 가우시안 적분의 근사
 \( \sin^n x \)는 \( x = \frac{\pi}{2} \) 근처에서 최대가 되는 것을 이용해 근사화 한다면

 

\( x = \frac{\pi}{2} \) 근처에서 \( \sin x \)를 테일러 급수로 전개하면:
\[ \sin x \approx 1 - \frac{(\frac{\pi}{2} - x)^2}{2} \]

 

 

 

 \( \sin^n x \)는 
\[ \sin^n x \approx \left(1 - \frac{(\frac{\pi}{2} - x)^2}{2}\right)^n \]

 

 

\( n \to \infty \)일 때, 위 식을 지수 함수 형태로 표현할 수 있다:
\[ \left(1 - \frac{(\frac{\pi}{2} - x)^2}{2}\right)^n \approx e^{-n (\frac{\pi}{2} - x)^2 / 2} \]

 

 

 

 \( t = \frac{\pi}{2} - x \)로 치환하면:
\[ dt = -dx \]
적분 범위가 \( x = 0 \)에서 \( x = \frac{\pi}{2} \)까지인 경우 \( t \)의 범위는 \( t = \frac{\pi}{2} \)에서 \( t = 0 \)이다.

 

 

 적분의 근사:
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{\cos x} \sin^n x \, dx \approx \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{\cos x} e^{-n (\frac{\pi}{2} - x)^2 / 2} \, dx \]

\( e^{\cos x} \)는 \( x = \frac{\pi}{2} \)에서 \( e^0 = 1 \)이므로, 근사적으로:
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{\cos x} \sin^n x \, dx \approx e \int_{-\infty}^{\infty} e^{-n t^2 / 2} \, dt \]

 

 

 

가우시안 적분 일반 형태
\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a t^2} \, dt = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \]

 

가우시안 적분의 표준 형태
\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi} \]

 

 

 

 1. 표준 가우시안 적분

\[ I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \]


\[ I^2 = \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \right) \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2} \, dy \right) \]


\[ I^2 = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2 + y^2)} \, dx \, dy \]

 

 2. 극좌표 변환

 \( x = r \cos \theta \) 및 \( y = r \sin \theta \)로 치환한다. 
\[ dx \, dy = r \, dr \, d\theta \]

적분의 범위가 \( r \)은 0에서 \(\infty\)까지, \( \theta \)는 0에서 \( 2\pi \)까지가 된다:

\[ I^2 = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \, dr \, d\theta \]

먼저 \( r \)에 대해 적분을 수행한다:

\[ \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \, dr \]

변수 치환 \( u = r^2 \) ( \( du = 2r \, dr \))을 사용하면:

\[ \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \, dr = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-u} \, du = \frac{1}{2} \left[ -e^{-u} \right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{2} \]

 전체 적분
\[ I^2 = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} \cdot 2\pi = \pi \]

따라서,

\[ I = \sqrt{\pi} \]

 

 

 

 3. 일반적인 가우시안 적분

일반적인 형태로 확장하면:

\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} \, dx \]

변수 치환 \( u = \sqrt{a} x \) (따라서 \( du = \sqrt{a} \, dx \))을 사용하면:

\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^2} \frac{du}{\sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{a}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^2} \, du = \frac{1}{\sqrt{a}} \sqrt{\pi} \]


\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} \, dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \]

이 결과를 통해, 우리가 구하려는 적분:

\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-n t^2 / 2} \, dt \]

여기서 \( a = \frac{n}{2} \)이다. 따라서:

\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-n t^2 / 2} \, dt = \sqrt{\frac{\pi}{n/2}} = \sqrt{\frac{2\pi}{n}} \]

이와 같이 가우시안 적분의 결과를 도출할 수 있다.

 

 

 

 

 

 

 

 

위 식에서 \( a = \frac{n}{2} \)이므로:
\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-n t^2 / 2} \, dt = \sqrt{\frac{2\pi}{n}} \]

 

전체 식의 극한
 식의 전체 극한은:
\[ \sqrt{n} \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{\cos x} \sin^n x \, dx \approx \sqrt{n} \cdot e \cdot \sqrt{\frac{2\pi}{n}} \]

\[ \sqrt{n} \cdot e \cdot \sqrt{\frac{2\pi}{n}} = e \sqrt{2\pi} \]

\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt{n} \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{\cos x} \sin^n x \, dx = e \sqrt{2\pi} \]