테일러 급수(Taylor series)

테일러 급수는 함수 \( f(x) \)를 특정 점 \( a \) 근처에서 다항식의 무한합으로 나타내어 함수의 값을 근사할 수 있다. 

 

 

\( x = a \)에서의 함수 \( f(x) \)의 1차, 2차 도함수 값들을

\[ f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + \cdots \]
 

 \( x = \frac{\pi}{2} \) 근처에서 \( \sin(x) \)를 테일러 급수로 전개. 

1. \( f(x) = \sin(x) \)
2. \( f'(x) = \cos(x) \)
3. \( f''(x) = -\sin(x) \)
4. \( f'''(x) = -\cos(x) \)
5. \( f^{(4)}(x) = \sin(x) \)

 \( x = \frac{\pi}{2} \)에서 함수와 도함수의 값을 계산하면

1. \( \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \)
2. \( \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \)
3. \( -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1 \)
4. \( -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \)
5. \( \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \)

 

 

테일러 급수의 첫 몇 항을 사용하여 근사식을 작성
\[ \sin(x) \approx \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)(x - \frac{\pi}{2}) + \frac{-\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}{2!}(x - \frac{\pi}{2})^2 \]

 

\[ \sin(x) \approx 1 + 0 \cdot (x - \frac{\pi}{2}) + \frac{-1}{2}(x - \frac{\pi}{2})^2 \]


\[ \sin(x) \approx 1 - \frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{2})^2 \]

 

 

 

\( x = \frac{\pi}{2} \) 근처에서 \( \sin(x) \)를 2차 테일러 급수로 근사한 결과

 

\[ \sin(x) \approx 1 - \frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{2})^2 \]