이등변 삼각형의 대칭성

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 1. 황금비 계산
x = (-1 + np.sqrt(5)) / 2  # x = 황금비
height = np.sin(np.radians(72))  # C의 y 좌표 (높이)

# 2. 삼각형의 꼭짓점 설정
A = [0, 0]                     # A(0, 0)
B = [x, 0]                     # B(x, 0)
C = [x / 2, height]           # C의 x 좌표는 x/2

# 3. 삼각형 시각화
plt.figure(figsize=(8, 6))

# 원래 이등변삼각형
triangle = np.array([A, B, C, A])
plt.plot(triangle[:, 0], triangle[:, 1], label='Triangle ABC', color='b')

# D 점을 BC 선 위에서 설정
# BC 선의 방정식에 따라 D를 찾기
D_x = (B[0] + C[0]) / 2  # D의 x 좌표를 BC의 중간으로 설정
D_y = (B[1] + C[1]) / 2  # D의 y 좌표를 BC의 중간으로 설정
D = [D_x, D_y]

# A에서 D까지 점선을 그리기
plt.plot([A[0], D[0]], [A[1], D[1]], '--', color='r', label='Height from A to D')

# 점 표시
plt.scatter(*zip(A, B, C, D), color='black')
plt.text(A[0], A[1], 'A(0, 0)', fontsize=10, verticalalignment='bottom')
plt.text(B[0], B[1], f'B({x:.2f}, 0)', fontsize=10, verticalalignment='bottom')
plt.text(C[0], C[1], f'C({x/2:.2f}, {height:.2f})', fontsize=10, verticalalignment='bottom')
plt.text(D[0], D[1], 'D', fontsize=10, verticalalignment='bottom')

# 그래프 설정
plt.xlim(-0.1, x + 0.1)
plt.ylim(-0.1, 1.5)
plt.axhline(0, color='grey', lw=0.5)  # x축
plt.axvline(0, color='grey', lw=0.5)  # y축
plt.title('Geometric Representation of sin(18°)')
plt.xlabel('X-axis')
plt.ylabel('Y-axis')
plt.grid()
plt.legend()
plt.gca().set_aspect('equal', adjustable='box')

# 5. sin(18°) 계산 (황금비와 관련)
sin_18 = (np.sqrt(5) - 1) / 4  # 황금비를 사용한 계산
print(f'sin(18°) = {sin_18:.4f}')

plt.show()

 

 

 

triangle=np.array([A,B,C,A])

 

배열을 사용하여 삼각형의 꼭짓점 A, B, C를 배열로 정의하고, 마지막에 다시 A를 추가하여 삼각형의 경로를 닫는 역할을 한다.

1. 배열 정의: np.array()는 이 꼭짓점들을 배열로 묶어준다.
   • [A, B, C]는 삼각형의 세 꼭짓점을 포함하고,
   • 마지막에 A를 다시 추가함으로써 삼각형의 경로를 닫아 그래프에서 A로 돌아와 삼각형을 완성하게 된다.
2. 결과: 이 배열을 사용하여 matplotlib에서 삼각형을 시각화할 수 있다. plt.plot(triangle[:, 0], triangle[:, 1])를 사용하여 x 좌표와 y 좌표를 각각 꺼내어 그린다.

 

 

 

 

 

plt.plot(triangle[:,0],triangle[:,1],label='Triangle ABC', color='b')

 

 

1. triangle[:, 0]:
   • triangle 배열에서 모든 행(:)의 첫 번째 열(0)을 선택한다. 이는 삼각형의 꼭짓점 A, B, C의 x 좌표를 의미한다.
2. triangle[:, 1]:
   • triangle 배열에서 모든 행의 두 번째 열(1)을 선택한다. 이는 삼각형의 꼭짓점 A, B, C의 y 좌표를 의미한다.

 

 

 

■ 이등변 삼각형의 대칭성

 

 

1. 삼각형 설정: 
   - \(36^\circ\), \(72^\circ\), \(72^\circ\)의 이등변삼각형이 그려져 있다.
   - 두 변의 길이는 1로 표시되고, 밑변은 대칭성에 따라 \(x\)와 \(1 - x\)로 나뉜다.

2. 닮은 삼각형 사용:
   - 큰 삼각형에서 높이를 그려 두 개의 직각삼각형을 만들면, 그 중 하나는 원래 삼각형과 닮은꼴이 된다.
   - 여기서 \( \frac{1}{x} = \frac{x}{1-x} \)라는 비례식이 설정된다.

3. 방정식과 해:
   - 비례식 \( \frac{1}{x} = \frac{x}{1 - x} \)을 정리하면 \( x^2 + x - 1 = 0 \)이라는 이차방정식이 나온다.
   - 이 이차방정식을 풀면 \( x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \)로, 이는 황금비 \(\varphi\)에 해당하며, 약 0.618이다.