신뢰 구간으로 필요한 표본 크기를 예측하기

- 인터넷 평균 사용시간에 대한 신뢰구간

 

하루 동안 인터넷을 사용하는 시간은 표준편차 1.5시간인 정규분포를 따른다고 할 때, 하루 평균 인터넷 사용시간에 대한95% 신뢰구간의 길이가 0.5시간 이하가 되도록 하는 데 필요한 최소의 표본크기를 구한다.

여기서, 

- 신뢰구간의 길이는 0.5시간으로 주어졌다.
- \( \sigma \)는 표준 편차로 주어졌으며, 1.5시간,
-  신뢰구간의 길이가 주어진 조건인 0.5이하가 되도록 하는데 필요한 최소한의 표본 크기 \( n \) 을 구해야 한다.

 

모집단이 평균이 \( \mu \)이고 분산이 \( \sigma^2 \)인 정규분포를 따르는 확률표본 \( X_1, X_2, \ldots, X_n \)이 있다고 가정한다.

모평균의 \( (1-\alpha) \times 100\% \)의 신뢰구간은 

\( \text{모평균의 신뢰구간} = \bar{X} \pm Z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \)

 

- \( Z_{\alpha/2} \)는 표준 정규 분포에서 상위 \( \alpha/2 \) 지점에 해당하는 값이다.
- \( \sigma \)는 모집단의 표준 편차
- \( n \)은 표본의 크기



\( \text{표본의 표준 오차} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \)

 추정 오차가 오차 한계 \( d \) 이내가 되도록 하기 위해서는 \( d = Z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \)

 

\[ d = Z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

\[ n = \left( \frac{Z_{\alpha/2} \times \sigma}{d} \right)^2 \]

이를 문제에서 제시된 값에 대입하여 계산하면, 최소한 144명의 표본이 필요하다는 것을 알 수 있다.

 

 

 

95%의 신뢰구간 길이가 0.5 시간 이하가 된다는 것은 주어진 표본을 통해 추정한 모평균의 신뢰구간이 너비가 0.5 시간 이하가 되도록 하는 것을 의미한다.

신뢰구간은 표본을 사용하여 모집단의 모수를 추정할 때 사용되는데 95%의 신뢰구간은 이러한 추정이 95%의 확률로 진실에 가까운 것으로 예상되는 구간을 의미한다. 그리고 이 구간의 길이가 0.5 시간 이하라는 것은 추정의 정확도가 높은 것이며 신뢰구간의 길이가 작을수록 추정이 정확하다고 할 수 있다.

 

 

- 문제의 key는 표본을 사용하여 추정한 모평균의 신뢰구간이 너비가 0.5 시간 이하가 되도록 하는데 필요한 최소의 표본 크기를 찾는 것이다.