이산확률변수의 기댓값

 

 

이산확률변수의 기댓값(expected value)은 각 확률 변수 값에 대한 확률 가중치를 곱하여 총합한 값으로, 해당 확률 변수의 평균값을 의미한다. 
\[ E[X] = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i) \]

여기서 \( x_i \)는 각각의 확률 변수 값이고, \( P(X = x_i) \)는 해당 확률 변수 값이 발생할 확률이다. 따라서 확률 변수의 모든 가능한 값에 대해 각 값의 확률을 곱하고 합산하여 기댓값을 계산한다.

, 동전을 한 번 던져 앞면이 나올 경우를 \( X = 1 \), 뒷면이 나올 경우를 \( X = 0 \)으로 정의할 때, 동전을 던질 때의 기댓값은 

\[ E[X] = (1 \cdot P(X=1)) + (0 \cdot P(X=0)) \]

만약 동전이 공정한 경우, 즉 앞면과 뒷면이 나올 확률이 각각 0.5이면:

\[ E[X] = (1 \cdot 0.5) + (0 \cdot 0.5) = 0.5 \]

따라서 동전을 던질 때의 기댓값은 0.5가 된다.