직교기저(Orthogonal Basis)

직교기저(Orthogonal Basis)는 벡터 공간의 기저 중에서 서로 직교(orthogonal)하는 벡터들로 구성된 기저를 의미한다. 기저란 벡터 공간에서 모든 벡터를 그 기저 벡터들의 선형 결합으로 나타낼 수 있는 벡터들의 집합이다.

 

- 기저(Basis): 벡터 공간에서 기저란, 그 공간의 모든 벡터를 선형 결합을 통해 표현할 수 있는 최소한의 독립적인 벡터들의 집합이다.
- 직교(Orthogonal): 두 벡터가 서로 수직이면 직교한다고 한다. 즉, 두 벡터 \( \mathbf{u} \)와 \( \mathbf{v} \)에 대해 내적(inner product) \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0 \)이면, 이 두 벡터는 직교한다.
  

 

 직교기저의 특징

1. 서로 직교: 기저에 속하는 모든 벡터가 서로 직교한다. 즉, 기저 벡터들 사이의 내적이 0이다.
2. 선형 독립: 직교하는 벡터들은 모두 선형 독립이다.
3. 모든 벡터를 표현 가능: 벡터 공간의 모든 벡터는 이 직교기저를 사용하여 선형 결합으로 나타낼 수 있다.
4. 편리한 계산: 직교기저를 사용하면 내적, 투영 등 많은 계산이 단순해진다.


2차원 평면에서 가장 간단한 직교기저는 \( \mathbf{i} = (1, 0) \)와 \( \mathbf{j} = (0, 1) \)이다. 이 벡터들은 서로 직교하고, 이 두 벡터의 선형 결합을 통해 평면 상의 모든 벡터를 표현할 수 있다.

직교기저와 직교정규기저(Orthonormal Basis):
- 직교기저는 서로 직교하지만 벡터의 길이가 반드시 1일 필요는 없다.
- 직교정규기저(Orthonormal Basis)는 직교기저이면서, 각 벡터의 길이가 1인 경우를 말한다. 즉, 각 벡터 \( \mathbf{v}_i \)에 대해 \( ||\mathbf{v}_i|| = 1 \)이고, 서로 직교한다.

 

#2d 직교기저
origin=np.array([0,0]) #시작점
#직교기저 벡터
v1=np.array([1,0]) #x방향
v2=np.array([0,1]) #y방향\
    

fig ,ax=plt.subplots()
ax.quiver(*origin,*v1,color='r',scale=5,label="v1")
ax.quiver(*origin,*v2,color='b',scale=5,label="v2")

#그래프 범위 설정
plt.xlim(-1,2)
plt.ylim(-1,2)

#x축과 격자 설정
plt.axhline(0,color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(0,color='black',linewidth=0.5)

plt.grid(True)

#제목과 범례추가
plt.title("orthogonal basis in 2d")
plt.legend(loc="upper right")

 

 

 

 

2D 공간에서 직교기저

 빨간색 벡터 \( \mathbf{v}_1 \)는 \( (1, 0) \)으로 x축 방향을 나타내고, 파란색 벡터 \( \mathbf{v}_2 \)는 \( (0, 1) \)으로 y축 방향을 나타낸다. 이 두 벡터는 서로 직교(90도 각도)를 이루며, 각각의 벡터는 독립적이다.

직교기저란, 서로 직각을 이루며 크기가 1인 벡터들로 구성된 기저를 의미한다.

- 3차원 공간에서 직교기저는 \( \mathbf{i} = (1, 0, 0) \), \( \mathbf{j} = (0, 1, 0) \), \( \mathbf{k} = (0, 0, 1) \)와 같이 직교하는 벡터들이 될 수 있다.

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