고유치와 고유벡터

 

 

 

 

 

■ 고유 벡터의 성질

 

- 고유벡터는 특정 변환에 의해 크기만 변하고 방향은 변하지 않는 벡터이다.

- \( (A - XI) \mathbf{V} = \mathbf{0} \)의 해는 고유값 \( X \)에 해당하는 고유벡터이다.

- \( A - XI \)의 해 공간 \( E_X \)은 \( A \)의 고유 공간(eigenspace)으로, \( (A - XI) \mathbf{V} = \mathbf{0} \)을 만족하는 모든 벡터를 포함한다.

 

- 서로 다른 고유값에 해당하는 고유벡터들은 일차 독립이다.

\[ A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

첫 번째 고유값은 3이며, 이에 대응하는 고유벡터는 (1, 0, 0)이다.
두 번째 고유값은 2이며, 이에 대응하는 고유벡터는 (0, 1, 0)이다.
세 번째 고유값은 1이며, 이에 대응하는 고유벡터는 (0, 0, 1)이다.

서로 다른 고유값에 해당하는 고유벡터들은 일차 독립이다.

 

고유값이 3, 2, 1인 경우에 해당하는 고유벡터들은 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)로 서로 다른 방향을 나타내므로 이들은 선형적으로 독립적이다. 각 고유벡터는 고유값에 대응하는 고유방정식에서 독립적으로 해를 갖는다는 것이다.

 

즉, 한 벡터를 다른 벡터의 선형 조합으로 나타낼 수 없다.(선형 독립성) 

 

 

만약 어떤 벡터가 다른 벡터들의 선형 조합으로 표현될 수 있다면, 그 벡터들은 선형 종속성을 가지고 있다.

 

 

 

 

 

 

 

-  만약 \( \mathbf{V} \)가 \( A \)의 고유벡터이면, \( t \neq 0 \)인 스칼라 \( t \)에 대해 \( t\mathbf{V} \)도 \( A \)의 고유벡터이다
 고유값이 3에 해당하는 고유벡터가 (1, 0, 0)일 경우, 이에 대해 2를 곱한 벡터 (2, 0, 0)도 역시 고유벡터가 된다. 이는 스칼라를 곱한 결과가 방향은 변하지 않고 크기만 변하기 때문이다.

 

 

 

 

 

 

■ 고유치

- 행렬 \( A \)에 대한 고유치(고유값)를 찾는 과정

1. \( A - \lambda I \)의 determinant를 구한다. 여기서 \( \lambda \)는 고유치이고, \( I \)는 단위 행렬(identity matrix)이다.
2. \( \det(A - \lambda I) = 0 \)을 만족하는 \( \lambda \) 값을 찾는다. 이것이 행렬 \( A \)의 고유치이다.

 

 

 

 

 

 

 

 

- 계산된 고유치를 이용하여 고유벡터를 찾는 과정

1. 고유치 \( \lambda \)에 대한 \( (A - \lambda I) \mathbf{x} = \mathbf{0} \)를 만족하는 해벡터 \( \mathbf{x} \)를 찾다. 이 벡터가 고유벡터이다.

 

 

 

■ eigenvalue

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \]

고유치를 계산하기 위해선, \( A - \lambda I \)를 계산하고, 그 행렬의 determinant를 구하여 0이 되는 \( \lambda \) 값을 찾아야 한다.

먼저 \( A - \lambda I \)를 계산하면 

\[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 3-\lambda \end{pmatrix} \]

이 행렬의 determinant

\[ \det(A - \lambda I) = (2-\lambda)(3-\lambda) - (1 \times 1) = \lambda^2 - 5\lambda + 5 \]

 

식이 0이 되도록 만드는 \( \lambda \) 값을 찾는다.

\[ \lambda^2 - 5\lambda + 5 = 0 \]

이제 고유치인 \( \lambda \) 값을 얻을 수 있다.

\[ \lambda = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2} \]

따라서 고유치는 \( \lambda = \frac{5 + \sqrt{5}}{2} \) 또는 \( \lambda = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} \) 이다.

 

 

 

 

■ eigenvector

 

 

주어진 행렬 \( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \)에 대한 고유치는 \( \lambda_1 = \frac{5 + \sqrt{5}}{2} \)와 \( \lambda_2 = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} \)이다.


1. \( \lambda_1 = \frac{5 + \sqrt{5}}{2} \)일 때:
\[ A - \lambda_1 I = \begin{pmatrix} 2 - \frac{5 + \sqrt{5}}{2} & 1 \\ 1 & 3 - \frac{5 + \sqrt{5}}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt{5}}{2} & 1 \\ 1 & \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \end{pmatrix} \]

이 행렬에 대해 \( (A - \lambda_1 I) \mathbf{x} = \mathbf{0} \)을 푸는 것으로 고유벡터를 찾을 수 있다.

2. \( \lambda_2 = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} \)일 때:
\[ A - \lambda_2 I = \begin{pmatrix} 2 - \frac{5 - \sqrt{5}}{2} & 1 \\ 1 & 3 - \frac{5 - \sqrt{5}}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{5}}{2} & 1 \\ 1 & \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \end{pmatrix} \]

이 행렬에 대해서도 \( (A - \lambda_2 I) \mathbf{x} = \mathbf{0} \)을 푸는 것으로 고유벡터를 찾을 수 있다.

위 두 행렬에 대한 해벡터를 찾으면 된다. 계산 결과는 다음과 같다:

1. \( \lambda_1 = \frac{5 + \sqrt{5}}{2} \) 일 때, 해당 행렬의 해벡터는 \( \mathbf{x_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \end{pmatrix} \).
2. \( \lambda_2 = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} \) 일 때, 해당 행렬의 해벡터는 \( \mathbf{x_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{\sqrt{5} + 1}{2} \end{pmatrix} \).

따라서 고유치 \( \frac{5 + \sqrt{5}}{2} \)에 대한 고유벡터는 \( \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \end{pmatrix} \) 이고, 고유치 \( \frac{5 - \sqrt{5}}{2} \)에 대한 고유벡터는 \( \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{\sqrt{5} + 1}{2} \end{pmatrix} \)이다.