주파수 도메인 기법 | 로우패스 필터(Low-Pass Filter)

주파수 도메인 기법에서 로우패스 필터(Low-Pass Filter)는 이미지 처리와 신호 처리에서 높은 주파수 성분을 제거하고 낮은 주파수 성분만 통과시킨다. 

 

 로우패스 필터의 주요 특징
- 높은 주파수 성분 제거: 이미지의 세부 정보나 경계와 같은 높은 주파수 성분을 제거한다. 이는 이미지가 흐려지게 만든다.
- 낮은 주파수 성분 통과: 낮은 주파수 성분, 즉 이미지의 주요 구조와 같은 저주파 성분은 통과시킨다.

 

 용도
- 이미지 흐림: 세부 정보를 흐리게 하여 이미지가 부드럽게 보이도록 한다. 이는 주로 이미지의 노이즈를 줄이거나, 부드럽게 만들기 위해 사용된다.
- 노이즈 제거: 고주파 노이즈를 제거하여 이미지의 품질을 개선한다.

 

 

 

 대표적인 로우패스 필터
- 가우시안 필터(Gaussian Filter):
  - 가우시안 함수에 기반한 필터로, 주파수 도메인에서 낮은 주파수 성분만을 통과시키고 높은 주파수 성분을 감소시킨다.
  -  필터의 강도가 거리에 따라 점점 감소하는 가우시안 함수의 형태를 가지며, 중앙부에서부터 멀어질수록 영향을 덜 미친다.
  

 

- 가우시안 함수는 
    \[
    G(x, y) = \frac{1}{2 \pi \sigma^2} e^{-\frac{x^2 + y^2}{2 \sigma^2}}
    \]
    여기서 \(\sigma\)는 필터의 표준 편차를 의미하며, 필터의 스무딩 강도를 조절한다.

 주의 사항
- 세부정보 손실: 로우패스 필터를 지나면서 이미지의 세부정보와 경계가 흐려지므로, 중요한 세부정보가 손실될 수 있다.
- 적절한 사용: 필터의 강도와 크기를 조절하여 원하는 정도의 흐림 효과를 조절할 수 있다.

로우패스 필터는 이미지의 부드러움과 노이즈 감소에 매우 유용하지만, 세부정보 손실을 피하기 위해 적절히 사용해야 한다.

 

 

 

■ 함수 형태 분석

 

이미지 처리에서 로우패스 필터로 자주 사용되는 가우시안 함수 

\[ G(x, y) = \frac{1}{2 \pi \sigma^2} e^{-\frac{x^2 + y^2}{2 \sigma^2}} \]


 식의 구성 요소

1. 정규화 상수 \(\frac{1}{2 \pi \sigma^2}\):
   - 이 항은 가우시안 함수의 총 적분값이 1이 되도록 정규화하여 필터의 총 합이 1이 되도록 조정하여 이미지의 밝기 변화 없이 필터링을 수행한다.

2. 지수 함수 \(e^{-\frac{x^2 + y^2}{2 \sigma^2}}\):
   - 지수 함수는 함수 값이 중심에서 멀어질수록 급격히 감소함으로써 필터가 중심에서부터 멀어질수록 영향을 덜 미치게 하여, 중심부의 픽셀은 강한 영향을 받지만 주변부는 약한 영향을 받도록 한다.

3. \(x\)와 \(y\):
   - 필터를 적용할 픽셀의 좌표이다. 함수는 필터 중심을 기준으로 각 픽셀까지의 거리(유클리드 거리 \( \sqrt{x^2 + y^2} \))를 사용하여 값을 계산한다.

4. \(\sigma\):
   - 표준 편차(Standard Deviation)를 의미한다. 필터의 스무딩 강도를 조절하는 파라미터이다.
   - 작은 \(\sigma\): 필터가 더 강하게 중심 픽셀에만 영향을 미치며, 더 작은 영역에서만 스무딩이 적용된다.
   - 큰 \(\sigma\): 필터가 넓은 영역에 걸쳐 영향을 미치며, 더 부드럽게 스무딩된다.

 

■ 결론 
- 중심부: 필터의 중심부(즉, \((x, y) = (0, 0)\))에서는 함수 값이 최대이며, 이 값은 \(\frac{1}{2 \pi \sigma^2}\)이다.
- 주변부: 중심에서 멀어질수록 지수 함수의 값이 급격히 감소하여 필터의 영향도 감소한다. 따라서 주변 픽셀은 덜 영향을 받는다.
- 스무딩 효과: 가우시안 필터는 이미지의 고주파 노이즈를 감소시키고 부드럽게 만드는데 효과적이고 \(\sigma\) 값을 조절함으로써 스무딩의 정도를 조절할 수 있다.