원근 변환에서 등차 좌표계 데카르트 좌표계

 

 

 

원근 변환(Perspective Transformation)에서 호모그래피 행렬을 사용하여 이미지를 변환할 때, 등차 좌표계(Homogeneous Coordinates)와 데카르트 좌표계(Cartesian Coordinates) 간의 변환 과정이다.

 1. 등차 좌표계(Homogeneous Coordinates)
- 정의: 등차 좌표계는 추가적인 차원을 사용하여 점을 표현하는 방법이다. (Projective Geometry)
- 형식: 점을 \((x, y, w)\) 형태로 표현하며, 여기서 \( w \)는 정규화 팩터이다.

 2. 호모그래피 행렬(Homography Matrix)
- 형식: 호모그래피 행렬은 3x3 행렬로 주어지며, 각 요소는 \( h_{ij} \)로 표기된다.
- 용도: 이미지의 원근 변환을 계산하는 데 사용된다.

 3. 좌표 변환
- 변환 과정:
  1. 소스 이미지의 좌표 \((x, y)\)는 호모그래피 행렬을 적용하여 대상 이미지의 좌표 \((x', y')\)로 변환된다.
  2. 계산식: 
     \[
     \begin{bmatrix}
     x' \\
     y' \\
     w'
     \end{bmatrix}
     =
     \begin{bmatrix}
     h_{11} & h_{12} & h_{13} \\
     h_{21} & h_{22} & h_{23} \\
     h_{31} & h_{32} & h_{33}
     \end{bmatrix}
     \begin{bmatrix}
     x \\
     y \\
     1
     \end{bmatrix}
     \]
  3. 정규화: 결과 좌표 \((x', y', w')\)를 데카르트 좌표계로 변환하려면 \( w' \)로 나누어야 한다. 
     \[
     x'' = \frac{x'}{w'}
     \]
     \[
     y'' = \frac{y'}{w'}
     \]
     여기서 \( (x'', y'') \)는 데카르트 좌표계의 최종 좌표이다.

 4. 무한대 및 정규화
- 무한대 표현: 만약 \( w' \)가 0이 아니라면, 좌표는 유한한 값으로 정규화된다. 그러나 \( w' \)가 0에 가까운 경우, 이는 점이 무한대에 위치하고 있음을 의미한다.
- 정규화: 실제 데카르트 좌표를 얻기 위해서는 \( w' \)로 나누어 정규화한다.

 5. 선형 방정식 및 최소 제곱법
- 선형 방정식: 호모그래피 행렬을 계산하기 위해서는 점 대응 관계를 사용하여 선형 방정식을 설정한다.
- 최소 제곱법: 실제 계산에서는 최소 제곱법을 사용하여 최적의 호모그래피 행렬을 추정한다.

이러한 과정을 통해 원근 변환을 적용하여 이미지의 왜곡을 보정하거나, 이미지 간의 정합을 수행할 수 있다.