선형 회귀 모델에서 교호작용

 

선형 회귀 모델에서 교호작용(interaction)은 두 개 이상의 독립 변수가 종속 변수에 영향을 미치는데, 이들 독립 변수들 간에 상호작용이 있는 경우를 의미한다. 한 독립 변수의 효과가 다른 독립 변수의 값에 따라 변하는 것을 말한다. 교호작용은 선형 회귀 모델에서 변수들 간의 비선형 관계를 나타내는 중요한 요소 중 하나이다.

 

\[ y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \beta_{12} x_1 x_2 + \epsilon \]

여기서 \( y \)는 종속 변수, \( x_1 \)과 \( x_2 \)는 독립 변수이며, \( \beta_0, \beta_1, \beta_2, \beta_{12} \)는 회귀 계수, \( \epsilon \)은 오차 항을 나타낸다. \( \beta_{12} \)는 \( x_1 \)과 \( x_2 \) 간의 교호작용을 나타낸다.

이 모델에서 \( \beta_{12} \)가 0이 아닌 경우, \( x_1 \)과 \( x_2 \) 간의 상호작용이 있다는 것을 나타낸다. 이는 \( x_1 \)의 효과가 \( x_2 \)의 값에 따라 변한다는 것을 의미한다. 즉, \( x_1 \)이 종속 변수에 미치는 효과가 \( x_2 \)의 값에 따라 다르게 나타날 수 있다.

선형 회귀 모델에서 교호작용을 고려함으로써 변수들 간의 상호작용을 더 정확하게 모델링할 수 있고, 모델의 예측력과 설명력을 향상시킬 수 있다.

 

 

■ 선형 관계와 비선형 관계의 주요 차이점

 

-변수들 간의 관계가 어떻게 변화하는가

1. 선형 관계:
   - 선형 관계는 변수들 간의 관계가 직선 형태로 나타나는 것을 의미한다.
   - 한 변수가 다른 변수에 비례하여 증가하거나 감소하는 경우에 선형 관계가 성립한다.
   - 예를 들어, \( y = mx + b \)와 같은 방정식으로 나타낼 수 있다. 여기서 \( m \)은 기울기이고 \( b \)는 y 절편이다.

 

* 소매업체에서는 광고 비용, 제품 가격, 계절 등의 요소를 기반으로 제품의 판매량을 예측하는데 선형 회귀 모델을 사용할 수 있다. 광고 비용이 증가함에 따라 판매량이 어떻게 변화하는지를 분석하여 광고 효과를 평가하여 광고 비용과 판매량 간의 관계를 선형적으로 모델링할 수 있다.

*  시계열 데이터 분석에서는 시간에 따른 추세를 분석하여 미래 값을 예측하는데 선형 회귀 모델을 사용할 수 있다. 일정 기간 동안의 매출 데이터를 사용하여 매출의 연도별 증가율을 예측하는데 선형 회귀 모델을 적용하여 분석이 가능하다.

 

 

 

 

2. 비선형 관계:
   - 비선형 관계는 변수들 간의 관계가 직선 형태가 아닌 곡선 형태로 나타나는 것을 의미한다.
   - 변수들 간의 관계가 다항식 함수, 지수 함수, 로그 함수 등과 같은 비선형 함수 형태로 나타난다.
   - 예를 들어, \( y = a x^2 + bx + c \)와 같은 2차 다항식이나 \( y = e^x \)와 같은 지수 함수 등이 비선형 관계의 예이다.

* 의학 분야에서는 의약품의 효능이 도달하는데 시간에 따라 비선형적으로 변하는 경우가 많다. 약물 농도와 효과 간의 관계가 로그 함수 또는 지수 함수와 같은 비선형 형태를 나타낼 수 있다. 이러한 경우에는 비선형 회귀 모델을 사용하여 약물의 효과를 분석하고 예측할 수 있다.

* 지구 과학이나 기상학 분야에서는 지구 온난화, 해수면 상승 등과 같은 자연 현상을 모델링할 때 비선형 회귀 모델을 사용할 수 있다. 이러한 현상들은 선형 모델로는 적절히 설명하기 어렵고, 비선형 모델을 사용하여 더 정확한 예측을 할 수 있다.