최소제곱법(least squares method) gradient

 

 

데이터에 잘 맞는 기울기를 구하는 공식은 최소제곱법(least squares method)을 사용하여 결정된다.

 

 기울기로 알 수 있는 사실은 데이터의 독립 변수와 종속 변수 간의 관계이며 선형 회귀에서 기울기는 독립 변수의 단위 변화가 종속 변수에 어떤 영향을 미치는지를 나타낸다. 기울기가 양수이면 독립 변수의 값이 증가할 때 종속 변수의 값도 증가하는 경향이 있고, 음수이면 독립 변수의 값이 증가할 때 종속 변수의 값은 감소하는 경향이 있다. 또한, 기울기의 크기가 클수록 독립 변수와 종속 변수 간의 관계가 강하고, 작을수록 관계가 약하다.

 

 회귀분석에서 기울기는 독립 변수와 종속 변수 간의 관계를 모델링하는 데 사용되며, 최소제곱법을 사용하여 이 기울기를 추정한다.

 최소제곱법에서는 주어진 데이터의 독립 변수와 종속 변수 간의 관계를 나타내는 모델을 정의하고, 이 모델의 예측값과 실제값 간의 잔차(오차)를 최소화하는 모델 파라미터를 찾는다.

\[ \hat{\beta}_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \]

여기서:
- \( \hat{\beta}_1 \)은 기울기의 추정치
- \( x_i \)는 독립 변수의 i번째 값
- \( \bar{x} \)는 독립 변수의 평균값
- \( y_i \)는 종속 변수의 i번째 값
- \( \bar{y} \)는 종속 변수의 평균값
- \( n \)은 데이터의 총 개수 

 주어진 데이터에 가장 잘 맞는 선형 관계를 찾기 위해 잔차를 최소화하는 기울기를 추정할 수 있는 공식이다.